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第一章 空间解析几何 1

1 空间直角坐标系 1

1.1 空间直角坐标系 1

1.2 两点间的距离 2

2 向量代数 4

2.1 向量的概念 4

2.2 向量的加、减和数乘运算 5

2.3 向量的投影 6

2.4 向量的坐标 8

2.5 向量的方向余弦 10

2.6 向量的数积 12

2.7 向量的矢积 14

2.8 向量的混合积 16

3 平面和直线 18

3.1 平面的方程 19

3.2 直线的方程 26

3.3 直线与平面的关系 28

4 二次曲面 32

4.1 球面 33

4.2 柱面 35

4.3 旋转面 37

4.4 锥面 39

4.5 椭球面 40

4.6 单叶双曲面 42

4.7 双叶双曲面 43

4.8 椭圆抛物面 44

4.9 双曲抛物面 45

5 坐标轴的变换 46

5.1 坐标轴的平移 47

5.2 坐标轴的旋转 48

习题 50

第二章 一元函数微分学 55

1 函数 55

1.1 常量与变量 55

1.2 函数概念 56

2 极限 63

2.1 数列极限 63

2.2 函数的极限 71

3 极限存在准则·两个重要极限 79

3.1 极限存在的两条准则 79

3.2 两个重要极限 82

4 无穷大量与无穷小量 88

4.1 无穷大量 88

4.2 无穷小量 89

4.3 无穷小量与无穷大量间的关系 90

4.4 函数（数列）极限的另一表达式 91

4.5 关于无穷小的定理 92

4.6 无穷小量比较 93

5 函数的连续性 94

5.1 函数连续性定义 94

5.2 函数的间断点 96

5.3 连续函数的基本性质 98

5.4 闭区间上连续函数的性质 99

6 一元函数的导数及其运算 104

6.1 导数概念 104

6.2 导数的运算法则与基本公式 109

6.3 复合函数的导数 113

6.4 反函数和隐函数的导数 116

6.5 高阶导数 119

6.6 参数方程确定的函数的导数 121

7 微分及其应用 123

7.1 微分定义 123

7.2 微分的几何意义 126

7.3 微分法则 126

7.4 微分形式不变性 127

7.5 微分在近似计算中的应用 127

7.6 高阶微分 130

8 中值定理 131

8.1 罗尔定理·中值定理 131

8.2 洛必达（L′Hospital）法则 136

8.3 泰勒公式 141

9 导数的应用 145

9.1 函数单调增减性的判定法 145

9.2 判别极值的两个充分条件 146

9.3 最大值和最小值 149

9.4 函数的凹性及拐点 150

9.5 函数的渐近线与作图 152

9.6 导数在生物学上的应用之例 153

习题 155

第三章 多元函数微分学 166

1 多元函数的极限与连续 166

1.1 二元函数的定义、定义域 166

1.2 二元函数的极限 169

1.3 二元函数的连续性 171

1.4 连续函数的性质 172

2 偏导数与全微分 173

2.1 偏导数的定义 173

2.2 偏导函数与连续 176

2.3 偏导数的几何意义 176

2.4 全微分的定义 177

2.5 全微分的应用 179

2.6 高阶偏导数 180

3 复合函数及隐函数的求导 181

3.1 复合函数求导法则 181

3.2 隐函数求导法则 185

4 偏导数的应用 189

4.1 空间曲线的切线与曲面的切平面 189

4.2 二元函数的泰勒展式 193

4.3 二元函数的极值 196

习题 203

第四章 一元函数积分学 208

1 不定积分 208

1.1 不定积分的概念与性质 208

1.2 换元积分法 213

1.3 分部积分法 224

1.4 几种特殊类型函数的积分 228

2 定积分及其应用 241

2.1 定积分概念与性质 241

2.2 定积分的计算 250

2.3 广义积分与Γ（x）函数 255

2.4 定积分的一般应用 262

习题 278

第五章 重积分 285

1 二重积分的定义和性质 285

1.1 二重积分的概念 285

1.2 二重积分的性质 288

2 二重积分的计算和曲面面积 290

2.1 直角坐标系中计算二重积分 290

2.2 极坐标系中计算二重积分 296

2.3 曲面的面积 300

3 三重积分 303

3.1 三重积分的概念 303

3.2 直角坐标系中三重积分的计算 304

3.3 柱面坐标系中三重积分的计算 306

3.4 球面坐标系中三重积分的计算 309

习题 312

第六章 曲线积分·曲面积分 315

1 曲线积分 315

1.1 第一型曲线积分 315

1.2 第二型曲线积分 318

2 格林公式·平面曲线积分与路径无关的条件 323

2.1 格林公式 323

2.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件 326

3 曲面积分 330

3.1 第一型曲面积分 330

3.2 第二型曲面积分 334

4 高斯公式 339

5 斯托克斯公式·空间的曲线积分与路径无关的条件 342

5.1 斯托克斯公式 342

5.2 空间曲线积分与路径无关的条件 346

习题 349

第七章 无穷级数 353

1 数项级数 353

1.1 无穷数列与级数 353

1.2 正项级数的敛散性 359

1.3 任意项级数的敛散性 366

2 幂级数 369

2.1 幂级数的收敛半径 371

2.2 幂级数的运算 375

2.3 函数的幂级数展开式 379

2.4 幂级数的应用 386

3 傅里叶级数 389

3.1 三角函数的正交性 390

3.2 函数的傅里叶级数 391

3.3 正弦级数与余弦级数 396

3.4 函数在任意区间上的傅里叶级数 400

4 函数项级数的一致收敛性 403

习题 413

第八章 微分方程 420

1 基本概念 420

2 一阶微分方程 423

2.1 可分离变量的微分方程 423

2.2 齐次微分方程 427

2.3 一阶线性方程 430

2.4 恰当微分方程 433

2.5 几种特殊类型的高阶方程 436

3 线性方程解的结构 439

4 常系数线性方程 444

4.1 二阶常系数线性齐次方程 444

4.2 二阶常系数线性非齐次方程 448

4.3 欧拉方程 456

4.4 一阶线性方程组 457

4.5 幂级数解法举例 460

5 数学模型简介 462

5.1 一般概念及数学模型的分类 463

5.2 生物群体总数的估计 466

5.3 猎手-食饵系统·捕食模型 468

习题 471

第九章 线性代数 477

1 矩阵的定义和运算 477

1.1 矩阵的定义 477

1.2 矩阵的运算和运算规律 480

1.3 矩阵的分块 491

2 方阵的行列式 496

2.1 n阶行列式的定义 496

2.2 行列式的性质 499

3 线性方程组 516

3.1 克莱姆（Cramer）定理 516

3.2 高斯消元法 521

3.3 矩阵的秩和线性方程组有解判别定理 530

3.4 用行初等变换求矩阵的逆 538

4 n维向量和向量的线性相关性 542

4.1 n维向量的定义 542

4.2 向量的线性相关性 544

4.3 齐次线性方程组解的结构 550

5 矩阵的对角化 555

5.1 相似矩阵 555

5.2 特征值和特征向量 557

5.3 矩阵对角化的条件 563

5.4 矩阵对角化在微分方程组求解中的应用 569

6 实二次型 573

6.1 正交方阵 573

6.2 实二次型的化简 580

6.3 正定二次型 589

习题 594

习题答案 602