毛纲源考研数学辅导系列 考研数学 2 历年真题分题型精解PDF电子书下载

第1部分 高等数学 2

第1章 函数极限连续 2

考点1.1.1函数的概论及其性质 2

题型1.1.1.1求分段函数的复合函数 2

题型1.1.1.2求反函数的表示式 3

题型1.1.1.3判别函数的奇偶性 3

题型1.1.1.4判别变上限积分函数F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性 5

题型1.1.1.5判别（证明）函数的周期性 6

考点1.1.2极限的概念与基本性质 6

题型1.1.2.1正确理解极限定义中的“e-N”，“ε-δ”，“e-X”语言的含义 6

题型1.1.2.2运用极限的保序性、保号性求解有关问题 6

题型1.1.2.3数列极限的概念及其运算性质 7

考点1.1.3求函数极限 8

题型1.1.3.1求0/0或∞/∞型未定式极限 9

题型1.1.3.2求∞-∞型未定式极限 11

题型1.1.3.3求幂指函数型（0°型、∞°型、1∞型）未定式极限 12

题型1.1.3.4求含根式和（或根式差）的未定式极限 14

题型1.1.3.5求需先考察左、右（单侧）极限的函数极限 16

题型1.1.3.6求含指数函数差因子的函数极限 16

考点1.1.4数列极限 17

题型1.1.4.1数列极限存在性的判定 17

题型1.1.4.2由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法 18

题型1.1.4.3求数列极限 19

题型1.1.4.4求某些积和式的极限 20

考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较 22

题型1.1.5.1无穷小量阶的比较 22

题型1.1.5.2无穷大量阶的比较 24

考点1.1.6已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待求极限 25

题型1.1.6.1已知极限式的极限反求其所含的未知参数 25

题型1.1.6.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限 29

考点1.1.7讨论函数的连续性及间断点的类型 30

题型1.1.7.1讨论函数的连续性 30

题型1.1.7.2判别函数f（x）的间断点的类型 32

题型1.1.7.3利用连续性确定待定常数 35

题型1.1.7.4利用函数的连续性证明方程实根的存在性 37

第2章 一元函数微分学 39

考点1.2.1导数定义的应用 39

题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性 39

题型1.2.1.2讨论分段函数的可导性及其导数的求法 40

题型1.2.1.3利用导数定义求极限或导数 41

题型1.2.1.4利用导数定义讨论函数性质 42

考点1.2.2讨论含绝对值函数的可导性 43

题型1.2.2.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性 43

题型1.2.2.2讨论函数f（x）=|ψ（x）|g（x）的可导性 44

考点1.2.3求一元函数的导数和微分 46

题型1.2.3.1求隐函数的导数 46

题型1.2.3.2求反函数的导数 48

题型1.2.3.3求由参数方程所确定的函数的导数 48

题型1.2.3.4求某些简单函数的高阶导数 50

题型1.2.3.5求一元函数的微分 52

考点1.2.4利用微分中值定理证明中值等式 53

题型1.2.4.1利用罗尔定理证明中值等式 53

题型1.2.4.2利用拉格朗日中值定理在证明与中值等式有关的问题上的应用 56

题型1.2.4.3柯西中值定理的应用 58

题型1.2.4.4求解高阶导数中值满足的等式 58

考点1.2.5利用导数和极限讨论函数的性态 61

题型1.2.5.1判定函数的单调性 61

题型1.2.5.2函数极值点的判定 62

题型1.2.5.3利用极限式判定函数是否取得极值 64

题型1.2.5.4利用所给（二阶微分）方程讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点 65

题型1.2.5.5求曲线的凹凸区间与拐点 67

题型1.2.5.6利用极值点或拐点讨论函数性质 71

题型1.2.5.7求函数f（x）在区间[a，b]上的最值 71

题型1.2.5.8求曲线的渐近线 72

题型1.2.5.9确定函数方程存在实根 75

考点1.2.6利用导数证明函数不等式 77

题型1.2.6.1证明函数不等式 77

题型1.2.6.2证明数值不等式 79

考点1.2.7导数的几何和物理应用 82

题型1.2.7.1平面曲线方程由显函数y=f（x）给出，求其切线和法线方程 82

题型1.2.7.2曲线方程由隐函数方程F（x，y）=0给出，求其切线和法线方程 82

题型1.2.7.3曲线方程由参数方程﹛x=x（t)/y=y（t）出，求其切线与法线 83

题型1.2.7.4曲线方程由极坐标方程r=r（θ）给出，求其切线与法线方程 84

题型1.2.7.5求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 85

题型1.2.7.6求解现两曲线相切的有关问题 85

题型1.2.7.7求解与曲率有关的问题 85

题型1.2.7.8求解与变化率有关的问题 86

第3章 一元函数积分学 87

考点1.3.1计算不定积分 87

题型1.3.1.1计算被积函数中含有积分变量的无理根式的不定积分 87

题型1.3.1.2计算被积函数中含有对数函数的不定积分 88

题型1.3.1.3求被积函数含反三角函数的不定积分 89

题型1.3.1.4计算被积函数为有理函数的不定积分 90

题型1.3.1.5求被积函数为两类不同函数乘积的不定积分 90

考点1.3.2计算定积分 91

题型1.3.2.1用分部积分法计算定积分 91

题型1.3.2.2计算需用换元法计算的定积分 92

题型1.3.2.3利用定积分的重要特性简化计算定积分 93

题型1.3.2.4计算被积函数含抽象函数导数或被积函数导数已知的积分 96

题型1.3.2.5比较和估计定积分的大小 97

考点1.3.3变限积分 99

题型1.3.3.1求含变限积分的函数导数 99

题型1.3.3.2求分段函数的变限积分 100

题型1.3.3.3求与变限积分有关的极限 101

题型1.3.3.4求变限积分函数的定积分 102

题型1.3.3.5讨论变限积分函数的性质 103

考点1.3.4计算反常积分（广义积分） 106

题型1.3.4.1计算无穷区间上的反常积分 106

题型1.3.4.2计算无界函数的反常积分 108

题型1.3.4.3判别混合型反常积分的敛散性 111

考点1.3.5定积分在几何上和物理上的应用 112

题型1.3.5.1计算平面图形的面积 112

题型1.3.5.2已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得旋转体的侧面积（表面积） 115

题型1.3.5.3已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得的旋转体体积 117

题型1.3.5.4计算平行截面面积已知的立体体积 120

题型1.3.5.5计算平面曲线的弧长 121

题型1.3.5.6求解定积分的应用与最值问题相结合的综合题 123

题型1.3.5.7求函数在区间上的平均值 125

题型1.3.5.8定积分在物理上的应用 125

第4章 多元函数微分学 129

考点1.4.1多元函数微分学中若干基本概念及其联系 129

题型1.4.1.1多元函数微分学中几个基本概念 129

题型1.4.1.2二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系 130

考点1.4.2计算多元函数的偏导数和全微分 131

题型1.4.2.1求多元显函数的偏导数或全微分 131

题型1.4.2.2求抽象复合函数的偏导数或全微分 134

题型1.4.2.3利用隐函数存在性定理确定隐函数 136

题型1.4.2.4求隐函数的偏导数或全微分 136

题型1.4.2.5求二元函数的二阶混合偏导数或全微分 138

题型1.4.2.6求含变限积分的二元函数的偏导数 140

题型1.4.2.7求在变换下方程的变形 140

考点1.4.3多元函数的极值与最值 142

题型1.4.3.1二元函数无条件极值的判别及其求法 143

题型1.4.3.2求二（多）元函数的条件极值 144

题型1.4.3.3求二元函数的最大值和最小值 147

第5章 二重积分 149

考点1.5.1计算直角坐标系下的二重积分 149

题型1.5.1.1化二重积分为累次积分 149

题型1.5.1.2交换二次积分的积分次序 150

题型1.5.1.3利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算 152

题型1.5.1.4分块计算二重积分 154

考点1.5.2用极坐标系计算二重积分 157

题型1.5.2.1计算圆域或部分圆域上的二重积分 157

考点1.5.3转换坐标系计算二重积分 159

题型1.5.3.1将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分计算 159

题型1.5.3.2将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分计算 161

第6章 常微分方程 164

考点1.6.1求解一阶微分方程 164

题型1.6.1.1求解可分离变量的微分方程 164

题型1.6.1.2求解齐次方程 165

题型1.6.1.3求解一阶线性方程 166

考点1.6.2求解高阶常系数线性微分方程 169

题型1.6.2.1利用解的结构和性质求解微分方程 169

题型1.6.2.2求解可降阶的微分方程 170

题型1.6.2.3求解高阶常系数线性齐次微分方程的通解 172

题型1.6.2.4确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式 173

题型1.6.2.5求解二阶常系数非齐次线性方程 174

题型1.6.2.6求解含变限积分的方程 175

题型1.6.2.7求在变量代换下微分方程的变形，并求其解 177

考点1.6.3已知微分方程的通（特）解反求该微分方程 179

题型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解，反求该齐次微分方程 179

题型1.6.3.2已知其特解或通解反求该非齐次线性方程 180

考点1.6.4微分方程的应用 182

题型1.6.4.1微分方程在几何上的应用 182

题型1.6.4.2微分方程在物理上的应用 184

第2部分 线性代数 188

第1章 行列式 188

考点2.1.1计算数字型行列式 188

题型2.1.1.1计算行（列）和相等的行列式 188

题型2.1.1.2计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式 189

题型2.1.1.3计算非零元素在平行于主对角线的三条线上的行列式 190

题型2.1.1.4计算含零子块的四分块矩阵的行列式的值 192

考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式 193

题型2.1.2.1计算抽象乘积矩阵的行列式 193

题型2.1.2.2已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式 193

题型2.1.2.3已知一矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值 194

题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式 195

题型2.1.2.5计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 195

题型2.1.2.6计算抽象矩阵的线性组合的行列式 196

题型2.1.2.7证明方阵的行列式等于零或不等于零 197

考点2.1.3克莱姆法则的应用 198

题型2.1.3.1求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解 198

题型2.1.3.2已知方程组An×nX=0只有零解，或有非零解，确定待求常数 198

第2章 矩阵 200

考点2.2.1矩阵运算 200

题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵 200

题型2.2.1.2计算方阵的高次幂 202

题型2.2.1.3证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式 203

题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵 204

考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题 207

题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 207

题型2.2.2.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 207

题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 207

题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式 208

考点2.2.3矩阵的秩 209

题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩 209

题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩 210

题型2.2.3.3已知矩阵秩的有关信息，求其待定常数或其所满足的关系 211

考点2.2.4求解矩阵方程 212

题型2.2.4.1求解含或可化为含单位矩阵加项的矩阵方程 212

题型2.2.4.2求解含伴随矩阵A*的矩阵方程 214

题型2.2.4.3求解矩阵方程，该方程两边同含左（或右）乘可逆因子矩阵 215

题型2.2.4.4求解矩阵方程AB+aA+bB+cE=O，可直接利用命题2.2.1.6求解 215

题型2.2.4.5求解未知矩阵前（或后）的系数矩阵不是方阵或是方阵但不可逆的矩阵方程 216

考点2.2.5求解与初等变换有关的问题 217

题型2.2.5.1用初等矩阵表示矩阵的初等变换 217

题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵及其性质 218

题型2.2.5.3讨论与等价矩阵有关的问题 219

第3章 向量 221

考点2.3.1向量的线性组合与线性表示 221

题型2.3.1.1讨论向量β能否用该向量组线性表示 221

题型2.3.1.2讨论抽象向量能否由抽象向量组线性表示 222

题型2.3.1.3求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题 222

考点2.3.2向量组的线性相关性 226

题型2.3.2.1判定（证明）向量组的线性相关性 226

题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判别其线性组合的向量组的线性相关性 227

题型2.3.2.3证明向量组线性无关 228

考点2.3.3求向量组的极大线性无关组和向量组的秩 232

题型2.3.3.1求向量组的极大线性无关组 232

题型2.3.3.2求向量组的秩 233

第4章 线性方程组 235

考点2.4.1判定线性方程组的情况 235

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况 235

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况 235

考点2.4.2基础解系 236

题型2.4.2.1基础解系的判定或证明 236

题型2.4.2.2基础解系和特解的求法 237

考点2.4.3求解线性方程组 239

题型2.4.3.1求解不含参数的线性方程组的通解 239

题型2.4.3.2求解含参数的线性方程组AX=b 240

题型2.4.3.3求解其通解满足一定条件的含参数的线性方程组 246

题型2.4.3.4求解参数仅出现在常数项的线性方程组 248

考点2.4.4抽象线性方程组的求解 249

题型2.4.4.1已知AX=b的特解，求其通解 249

题型2.4.4.2利用线性方程组的向量形式求其通解 251

考点2.4.5由其解反求线性方程组或其参数 252

题型2.4.5.1已知AX=0或AX=b的解的情况，反求A中参数 252

题型2.4.5.2已知方程组的基础解系，求其系数矩阵 254

考点2.4.6求两线性方程组的公共解 255

题型2.4.6.1已知两具体的线性方程组，求其公共解 255

题型2.4.6.2两方程组中至少有一个方程组的通解已知，求其公共解 256

考点2.4.7讨论两方程组同解的有关问题 257

题型2.4.7.1证明两齐次线性方程组同解 258

题型2.4.7.2已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数 259

第5章 矩阵的特征值和特征向量 261

考点2.5.1求矩阵的特征值、特征向量 261

题型2.5.1.1求数字型矩阵的特征值和特征向量 261

题型2.5.1.2求抽象矩阵的特征值、特征向量 262

题型2.5.1.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量 263

考点2.5.2求与已知矩阵的特征值、特征向量有关的问题 265

题型2.5.2.1已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数 265

考点2.5.3相似矩阵与相似对角化 266

题型2.5.3.1判别两矩阵相似 266

题型2.5.3.2判别方阵是否可相似对角化 267

题型2.5.3.3相似矩阵性质的应用 268

考点2.5.4与两矩阵相似的有关计算 270

题型2.5.4.1已知A可相似对角化，即P-1AP=Λ，求相似对角矩阵Λ 270

题型2.5.4.2已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵 271

题型2.5.4.3由特征值、特征向量，反求其矩阵 273

题型2.5.4.4已知矩阵A和可逆矩阵P求A的相似矩阵B，使P-1AP=B 274

考点2.5.5实对称矩阵性质的应用 275

题型2.5.5.1已知实对称矩阵的一部分特征向量，求另一部分特征向量 275

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵 277

题型2.5.5.3利用相似对角化求矩阵的高次幂 278

第6章 二次型 280

考点2.6.1二次型的标准形 280

题型2.6.1.1用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵） 280

题型2.6.1.2已知二次型的标准形（规范形），求二次型中的未知参数 283

考点2.6.2判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性 285

题型2.6.2.1判别二次型或其矩阵的正定性 285

题型2.6.2.2确定参数值使二次型或其矩阵正定 287

考点2.6.3合同矩阵与合同变换 289

题型2.6.3.1判别（证明）两实对称矩阵合同 289

题型2.6.3.2讨论两矩阵相似与合同的关系 290

附录1997—2012年考研数学二试题 291

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 291

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 292

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 293

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 295

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 296

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 298

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 299

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 301

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 303

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 305

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 306

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 308

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 310

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 312

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 313

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 315