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上篇 复变函数论 1

第一章 复变函数和解析函数 1

1.1复数的基本概念 1

1.2复变函数及其导数科希－黎曼条件 4

1.3解析函数 9

1.4多值函数 11

1.5解析函数的物理解释 17

习题 20

第二章 复变函数积分科希定理和科希公式 22

2.1复变函数积分及其重要性质 22

2.2科希定理 24

2.3不定积分 27

2.4科希公式及其几个推论 31

2.5两特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系泊松积分公式 35

习题 39

第三章 复变函数级数泰勒级数和罗朗级数孤立奇点的分类 40

3.1复变函数级数和解析函数级数 40

3.2幂级数的收敛性 43

3.3解析函数的泰勒级数展开 47

3.4解析函数的罗朗级数展开 53

3.5泰勒级数和罗朗级数展开的几种常用方法 55

3.6孤立奇点的分类和特性 60

习题 66

第四章 解析延拓Г函数和B函数 68

4.1解析函数的唯一性 68

4.2用泰勒级数进行解析延拓 71

4.3利用函数关系式进行解析延拓Г函数 73

4.4B函数 76

习题 78

5.1留数定理和留数的求法 79

第五章 定积分的计算 79

5.2？2πR(Cosx,sinx）dx 83

5.3？∞f(x)dx、？f(x)eimxdx和约当引理 85

∞∞ 89

5.4积分主值 89

5.5多值函数积分的两种类型 93

5.6几个特殊积分 101

习题 106

第六章 拉普拉斯变换 109

6.1拉普拉斯变换的定义和基本性质 109

5.2反演问题梅林反演公式 115

6.3求原函数和象函数的几种常用方法 124

6.4线性常微分方程的初值问题 127

6.5点源和瞬时源δ函数 134

习题 141

7.1傅里叶级数 145

第七章 傅里叶变换和色散关系 145

7.2傅里叶变换 149

7.3多重傅里叶变换 158

7.4色散关系 162

习题 168

第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 170

8.1常点邻域方程的级数解勒让德方程 170

8.2正则奇点邻域方程的级数解贝塞耳方程 177

8.3高斯方程和库末方程 195

8.4非齐次方程的通解 202

习题 205

下篇 数学物理方程 207

第九章 数学物理方程的定解问题 207

9.1数学物理方程的导出 207

9.2二阶线性偏微分方程的分类和化简 220

9.3定解问题 227

9.4线性方程的迭加原理 232

习题 234

第十章 行波法和分离变量法本征值问题 236

10.1一维无界区域的自由振动问题达朗伯公式 236

10.2一维半无界区域的自由振动问题初始条件的延拓 239

10.3一维有界区域自由振动问题的驻波解分离变量法 244

10.4非齐次边界条件的齐次化 251

10.5本征函数法 256

10.6斯特姆－刘维型方程的本征值问题 258

习题 266

第十一章 积分变换法 269

11.1无界空间的有源导热问题傅里叶变换法 269

11.2三维无界空间的静电场问题 275

11.3三维无界空间的受迫振动问题泊松公式和推迟势公式 277

11.4拉普拉斯变换法 281

习题 285

第十二章 球坐标下的分离变量法勒让德多项式和球谐函数 288

12.1正交曲线坐标系平面圆形区域的定解问题 288

12.2球坐标下的分离变量法 298

12.3轴对称问题勒让德多项式 301

12.4非轴对称问题球谐函数 312

习题 322

第十三章 柱坐标下的分离变量法贝塞耳函数 325

13.1柱坐标下的分离变量法 325

13.2贝塞耳函数 327

13.3虚宗量贝塞耳函数 340

13.4球贝塞耳函数 343

13.5最速下降法贝塞耳函数的渐近式 348

13.6可以化为贝塞耳方程的一类方程爱里方程的有限解 363

习题 367

14.1保角变换及其基本特性 369

第十四章 平面静电场问题和保角变换法 369

14.2几种常用的初等函数变换 375

14.3多角形区域的变换施瓦兹－克利斯多菲变换公式 392

14.4小结 407

习题 408

第十五章 非齐次方程的定解问题和格林函数法 410

15.1三类边界条件的定解问题的解与格林函数 410

15.2格林函数的一般性质 418

15.3某些特殊区域泊松方程狄里希莱问题的格林函数镜像法 421

15.4格林函数的一般求法 426

15.5无界空间的稳恒振动问题 429

15.6受迫振动问题和含时格林函数 439

习题 449

16.1变分问题欧拉－拉格朗日方程 452

第十六章 变分法 452

16.2带约束条件的变分问题 461

16.3端点值可变情况下的变分问题 468

16.4变分问题与微分方程的求解 472

习题 482

第十七章 积分方程的一般性质和解法 485

17.1积分方程的分类伏特拉方程 485

17.2具有平方可积核的弗雷德霍姆方程的迭代解法 494

17.3退化核方程和弗雷德霍姆定理 497

17.4连续核方程的弗雷德霍姆定理和解核的弗雷德霍姆表达式 503

17.5弱奇性核方程 512

17.6对称核方程 519

17.7微分方程与积分方程的联系 529

习题 533

习题答案 535