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第一篇 复变函数论及傅里叶分析 3

第一章复变函数 3

§1.1 复数的概念 3

目 录 3

§1.2 复数的几何表示法 4

§1.3 复数的运算 8

§1.4 复变函数 12

§1.5 复变函数的极限 19

§1.6 复变函数的连续 20

§2.1 复变函数的导数 24

习 题 24

第二章解析函数 24

§2.2 柯西-黎曼条件 26

§2.3 解析函数 30

§4.2 复变函数项级数 31

§2.4 解析函数与调和函数的关系 33

§2.5 初等解析函数 39

§2.6 解析函数的应用——平面场的复势 47

§8.1 基本概念 56

第三章复变函数的积分 56

习 题 56

§3.2 复变函数的积分 58

§3.3 柯西定理 61

§3.4 柯西积分公式 66

§3.5 柯西积分公式的几个推论 70

习题 78

第四章解析函数的幂级数表示法 78

§4.1 复数项级数 78

§4.3 幂级数 88

4.4 解析函数的幂级数展开 93

§4.5 解析函数的孤立奇点 107

§4.6 解析函数在无穷远点的性质 113

§4.7 解析开拓 116

习题 121

第五章残数理论及其应用 121

§5.1 残数的基本理论 121

第十四章贝塞耳函数 128

§14.1 贝塞耳方程及其解 128

习题 128

§5.2 用残数计算实积分 129

§5.3 对数残数和幅角原理 148

习题 157

第六章傅里叶级数和傅里叶变换 157

§6.1 周期函数和傅里叶级数 157

§6.2 正交函数系 160

§6.3 正交完备函数系 164

§6.4 傅里叶级数的性质 168

§6.5 傅里叶级数的应用 176

§6.6 有限区间上的函数的傅里叶级数 181

§6.7 复指数形式的傅里叶级数 185

§6.8 傅里叶积分与变换 186

§6.9 傅里叶变换的性质 190

习题 205

第七章拉普拉斯变换 205

§7.1 拉普拉斯变换的概念 205

§7.2 基本函数的拉氏变换 208

§7.3 拉氏变换的性质 211

§7.4 拉普拉斯逆变换 221

§7.5 应用 223

习题 241

第二篇数学物理方程 241

第八章数学模型——定解问题 241

§8.1 引言 241

§8.2 数学模型的建立 242

§8.3 定解条件 256

§8.4 定解问题 266

§8.5 求解途径 268

习题 271

§9.1基本概念 271

第九章二阶线性偏微分方程的分类 271

§9.2 二阶线性偏微分方程的分类及标准化 273

§9.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 279

§9.4 二阶线性偏微分方程的特征 281

§10.1 通解 284

习题 284

第十章通解法 284

§10.2 达朗贝尔公式 287

§10.3 达朗贝尔公式的物理意义 289

§10.4 达朗贝尔公式的应用 289

§10.5 依赖区间，决定区域和影响区域 293

§10.6 半无限长弦的自由振动 294

§10.7 两端固定的弦的自由振动 298

习题 304

第十一章分离变量法 304

§11.1 分离变量 304

§11.2 直角坐标系中的分离变量法 307

§11.3 圆柱坐标系中的分离变量法 339

§11.4 球坐标系中的分离变量法 352

§12.1 常点邻域的级数解法 366

第十二章 线性常微分方程的级数解法和本征值问题 366

习题 366

§12.2 正则奇点邻域的级数解法 371

§12.3 本征值问题 383

习题 396

第十三章 勒让德函数 396

§13.1 勒让德多项式的定义及表示 396

§13.2 勒让德多项式的生成函数 400

§13.3 勒让德多项式的性质 401

§13.4 勒让德多项式的递推公式 407

§13.5 第二类勒让德函数QL(x) 411

§13.6 连带勒让德方程及其解 412

§13.7 球谐函数 417

§13.8 应用 421

§14.2 整数阶（第一类）贝塞耳函数 433

§14.3 修正贝塞耳方程及其解 447

§14.4 球贝塞耳方程及球贝塞耳函数 451

§14.5 广义贝塞耳函数 460

§14.6 应用 461

习题 478

第十五章积分变换法 478

§15.1 傅里叶变换 478

§15.2 拉普拉斯变换 483

§15.3 傅氏正弦变换 492

§15.4 傅氏余弦变换 494

§15.5 汉克尔变换 495

§16.1 格林公式 501

习题 501

第十六章格林函数法 501

§16.2 稳态边值问题的格林函数法 502

§16.3 热传导问题的格林函数法 508

§16.4 波动问题的格林函数法 513

§16.5 格林函数的确定 515

§16.6 应用 530

习题 540

第十七章保角变换法 540

§17.1 保角变换及其基本问题 540

§17.2 常用的几种保角变换 548

§17.3 多角形的变换 560

§17.4 应用 570