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第九章 广义积分 1

第一节 广义积分的概念与计算 1

一、无穷限广义积分 3

二、无界函数的广义积分 6

习题9.1 11

第二节 广义积分的收敛判别法 12

一、非负函数广义积分的收敛判别法 14

二、一般函数无穷区间广义积分的收敛判别法 18

三、无界函数广义积分的收敛判别法 21

习题9.2 26

第三节 补充定理与例题 28

习题9.3 33

第十章 数项级数 35

第一节 数项级数的概念及其收敛性 35

习题10.1 42

第二节 上极限与下极限 43

一、数列的上极限与下极限 43

二、上、下极限的重要性质 45

习题10.2 48

第三节 正项级数 49

习题10.3 62

第四节 任意项级数 64

一、Cauchy收敛原理 64

二、级数的绝对收敛与条件收敛 66

三、交错级数 68

四、Abel判别法与Dirichlet判别法 70

习题10.4 77

第五节 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 78

习题10.5 88

第六节 补充定理与例题 88

习题10.6 96

第十一章 函数项级数 99

第一节 函数项级数的一致收敛性 99

一、函数项级数的概念 99

二、一致收敛的概念 102

习题11.1 108

第二节 函数项级数一致收敛的判别与性质 110

一、一致收敛的判别法 110

二、一致收敛极数的性质 115

习题11.2 121

第三节 幂级数 124

一、幂级数及其收敛域 124

二、幂级数的性质 126

三、函数的幂级数展开 128

习题11.3 134

第四节 用多项式一致逼近连续函数 136

习题11.4 138

二、三角函数的正交性与富里埃系数 139

第五节 富里埃级数 139

一、富里埃级数的概念 139

三、富里埃级数的收敛性 141

四、其他类型的富里埃级数 144

五、内积空间中的富里埃级数 148

习题11.5 153

第六节 补充定理与例题 155

习题11.6 160

第十二章 多元函数的极限与连续 162

第一节 Euclid空间中的点集 162

一、Euclid空间，点列的极限 162

二、开集与闭集 165

三、平面点集的几个基本定理 169

习题12.1 172

第二节 多元函数的极限 172

一、多元函数的概念 172

二、二元函数的极限 173

三、重极限与累次极限 177

习题12.2 179

第三节 多元函数的连续性 180

一、多元连续函数的定义 180

二、连续函数的性质 182

习题12.3 184

第四节 补充定理与例题 186

习题 12.4 189

第十三章 多元函数的导数与微分 190

第一节 方向导数与偏导数 190

一、方向导数 190

二、偏导数 191

三、高阶偏导数 194

习题13.1 196

第二节 全微分及其应用 197

一、多元函数的全微分 197

二、全微分的应用 200

习题13.2 201

第三节 复合函数求导法则 202

习题13.3 206

第四节 隐函数存在定理 207

一、隐函数的概念 207

二、隐函数存在定理 209

习题13.4 214

第五节 空间曲线的概念 215

习题13.5 218

第六节 空间曲面的概念 220

一、空间曲面的概念 220

二、曲面的法线与切平面 221

习题13.6 224

一、等值面（线） 225

第七节 梯度 225

二、梯度 226

习题13.7 228

第八节 泰勒公式 229

习题13.8 231

第九节 多元函数的极值 232

一、多元函数的极值 232

二、最小二乘法 238

习题13.9 240

第十节 条件极值 241

习题13.10 248

第十一节 补充定理与例题 250

习题13.11 256

第十四章 向量值函数的微分 257

第一节 Rn上的连续映射 257

习题14.1 260

第二节 映射的微分 260

习题14.2 267

第三节 隐映射存在定理 268

习题14.3 276

第四节 补充定理与例题 277

习题14.4 281

第十五章 含参变量的积分与广义积分 282

第一节 含参变量的积分 282

习题15.1 290

第二节 含参变量的广义积分 291

一、一致收敛性及其判别法 292

二、一致收敛积分的性质 297

习题15.2 303

第三节 欧拉积分 305

一、Г函数 306

二、В函数 307

习题15.3 310

第四节 补充定理与例题 310

习题15.4 314

一、面积和体积的概念 316

第一节 重积分的定义和性质 316

第十六章 重积分 316

二、二重积分的概念 319

三、二重积分的可积性问题 321

四、三重积分的概念 322

五、重积分的性质 324

习题16.1 326

第二节 二重积分的计算 327

一、用直角坐标系计算二重积分 327

二、用极坐标计算二重积分 335

三、二重积分的一般变量代换 338

习题16.2 345

一、化三重积分为累次积分 348

第三节 三重积分的计算 348

二、三重积分的变量变换 352

习题16.3 359

第四节 重积分的应用 360

一、曲面的面积 361

二、重积分在物理上的应用 365

习题16.4 370

第五节 补充定理与例题 371

习题16.5 376

第十七章 曲线积分和曲面积分 378

第一节 第一类曲线积分 378

一、第一类曲线积分的概念 378

二、第一类曲线积分的计算 380

习题17.1 383

第二节 第二类曲线积分 384

一、第二类曲线积分的概念 384

二、第二类曲线积分计算举例 388

习题17.2 391

第三节 第一类曲面积分 392

一、第一类曲面积分的概念 392

二、第一类曲面积分的计算 393

习题17.3 397

第四节 第二类曲面积分 398

一、曲面的定向 398

二、第二类曲面积分的概念 401

三、第二类曲面积分计算举例 404

习题17.4 407

第五节 补充定理与例题 408

习题17.5 411

第十八章 各种积分的联系与场论 412

第一节 各种积分的联系 412

一、格林公式 413

二、高斯公式 418

三、斯托克斯公式 423

习题18.1 427

第二节 曲线积分与路径无关的条件 429

一、平面上曲线积分与路径无关的条件 430

二、全微分式的原函数 432

习题18.2 434

第三节 场论初步 436

一、场的概念 436

二、向量场的向量线 437

三、向量场的通量与散度 438

四、向量场的环流量与旋度 442

五、保守场 444

习题18.3 446

第四节 补充定理与例题 448

习题18.4 452