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第一章 绪论 1

1.1 计算方法研究的对象和特点 1

1.2 误差的来源及基本概念 4

1.2.1 误差的来源 4

1.2.2 误差的概念和有效数字 5

1.2.3 初值误差的传播 9

1.3 选用和设计算法应注意的问题 10

1.3.1 选用数值稳定的计算公式 10

1.3.2 防止两个相近数相减 12

1.3.3 防止大数“吃掉”小数 13

1.3.4 简化计算步骤，减少运算次数 14

习题1 14

第二章 非线性方程的数值解法 16

2.1 二分法 16

2.1.2 二分法的方法介绍 17

2.1.1 数学理论基础 17

2.1.3 计算步骤与程序框图 18

2.2 迭代法 21

2.2.1 迭代法的基本思想 21

2.2.2 迭代法的收敛条件 22

2.2.3 误差估计式 25

2.2.4 计算步骤和程序框图 26

2.2.5 迭代法的收敛阶 27

2.3 牛顿（Newton）法 30

2.3.1 方法介绍 31

2.3.2 牛顿法收敛的充分条件 32

2.3.3 牛顿法的收敛阶 35

2.3.4 计算步骤和程序框图 36

2.3.5 双点弦截法（快速弦截法） 39

习题2 43

第三章 解线性代数方程组的直接法 44

3.1.1 顺序消去法 45

3.1 高斯（Gauss）消去法 45

3.1.2 主元消去法 50

3.2 矩阵的三角分解 54

3.2.1 矩阵的杜利特尔（Doolittle）分解 54

3.2.2 高斯消去法与矩阵的三角分解 57

3.2.3 杜利特尔分解法 58

3.3 解三对角方程组的追赶法 62

3.3.1 三对角阵能进行三角分解的条件 63

3.3.2 追赶法的递推公式 64

3.4 平方根法和改进的平方根法 66

3.4.1 平方根法的理论基础 66

3.4.2 平方根法的计算公式与计算步骤 68

3.4.3 改进的平方根法 70

3.5 线性代数方程组的性态 73

3.5.1 向量范数 74

3.5.2 矩阵范数 76

3.5.3 线性代数方程组的性态 80

习题3 85

第四章 解线性代数方程组的迭代法 87

4.1 三种基本的迭代方法 87

4.1.1 雅可比（Jacobi）迭代法 87

4.1.2 高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 90

4.1.3 超松弛迭代法（SOR方法） 93

4.2 迭代法的收敛条件 97

4.2.1 迭代法收敛的概念 97

4.2.2 迭代法收敛的判定定理 97

习题4 107

第五章 插值与拟合 109

5.1 插值的基本概念 109

5.1.1 插值问题 109

5.1.2 插值多项式的存在惟一性 110

5.1.3 插值余项 112

5.2 拉格朗日（Lagrange）插值 113

5.2.1 拉格朗日插值基函数 113

5.2.2 拉格朗日插值多项式 114

5.3 牛顿插值 118

5.3.1 差商及性质 118

5.3.2 牛顿插值多项式 120

5.4 差分与等距节点插值 122

5.4.1 差分及性质 123

5.4.2 等距节点的牛顿插值 124

5.5 埃尔米特（Hermite）插值 127

5.6 分段低次插值 132

5.6.1 高次插值的缺陷 132

5.6.2 分段线性插值 133

5.6.3 分段三次埃尔米特插值 136

5.7.1 插值问题与插值条件 137

5.7 三次样条插值 137

5.7.2 三弯矩方程 139

5.8 曲线拟合的最小二乘法 144

5.8.1 曲线拟合 144

5.8.2 几种具体的拟合曲线类型 148

习题5 151

6.1 代数精度与插值型求积公式 155

6.1.1 代数精度 155

第六章 数值积分 155

6.1.2 插值型求积公式 157

6.2 牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 161

6.2.1 牛顿－柯特斯公式 161

6.2.2 几个低阶求积公式 164

6.3 复化求积公式 169

6.3.1 复化梯形公式 169

6.3.2 复化辛卜生公式 170

6.4.1 复化梯形公式逐次分半算法 174

6.4 龙贝格（Romberg）算法 174

6.4.2 李查逊（Richardson）外推法 177

6.4.3 龙贝格积分法 180

6.5 高斯型求积公式 183

6.5.1 高斯型求积公式的定义 183

6.5.2 高斯型求积公式的建立 186

6.6 二重积分的数值求积 189

6.6.1 积分区域为矩形域情形 189

6.6.2 积分区域为一般情形 192

习题6 193

第七章 常微分方程数值解 195

7.1 引言 195

7.2 欧拉（Euler）方法 196

7.2.1 欧拉方法推导 197

7.2.2 隐式公式及改进的欧拉方法 200

7.2.3 误差分析 203

7.3.1 龙格－库塔方法的构造 204

7.3 龙格－库塔（Runge-Kutta）方法 204

7.3.2 龙格－库塔方法的推导 205

7.4 单步方法的收敛性和稳定性 210

7.4.1 单步法的收敛性 210

7.4.2 单步法的稳定性 212

7.5 线性多步法 214

7.5.1 利用待定系数法构造线性多步法 214

7.5.2 利用数值积分构造线性多步法 215

7.5.3 亚当姆斯（Adams）公式 216

7.6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 220

7.6.1 一阶方程组 220

7.6.2 化高阶方程为一阶方程组 222

习题7 224

习题参考答案 226

参考文献 232