高等数学 初稿 上PDF电子书下载

目录 1

绪论 1

第一篇　平面解析几何学 6

第一章　基本公理 6

§1．有向线段及其与数的联系 6

§2．有理数的闭性与密性 8

§3．一一对应 11

§4．实数连续性公理 13

§5．无理数与无尽小数 15

§6．实数概念小结 18

§7．实数的绝对值 19

§8．有向角及其与数的联系 21

§9．有向线段的射影 24

附注（1）数学归纳法，（2）无穷多的一种特征，（3）无理数与无尽连分数 25

§10．笛卡儿直角坐标系 28

第二章　坐标与方程 28

§11．坐标轴的平移 29

§12．两点间的距离 30

§13．定比分点 31

§14．曲线与方程 33

§15．方向余弦与方向数 38

§16．矢径在有向直线上的射影 42

§17．极坐标 42

§18．直线方程的法式 45

第三章　直线与一次方程 45

§19．直线的斜率 46

§20．二元一次方程 47

§21．直线方程通式与法式的沟通 49

§22．直线到点的垂直距离 51

§23．直线方程的参数式 52

§24．坐标变换、直线方程对坐标变换的不变性 54

§25．直线的极坐标方程 56

§26．两直线的交角 58

§27．必要与充分条件 61

§28．二元一次方程组 62

§29．行列式的特性 65

§30．三元一次方程组 69

§31．两直线的交点 72

§32．直线束 73

§33．三条直线的交点 75

附注（1）直线段的参数式，（2）直线方程的两点式由行列式表达，（3）方程个数少于未知数个数时的情况，（4）四元一次方程组问题，（5）三条直线线性相关的条件 79

第四章　圆锥曲线略论 80

§34．圆的一般方程 80

§35．椭圆及双曲线的方程 81

§36．椭圆及双曲线的准线 85

§37．圆锥曲线的极坐标方程 88

§38．圆及椭圆的参数方程 89

§39．一般二次方程的简化举例 90

§40．函数的定义 95

第五章　函数概念 95

第二篇　一元函数的微积分学 95

§41．隐函数与显函数 97

§42．函数作图 98

§43．最简单的几种函数 101

§44．复合函数 103

§45．反函数 105

第六章　极限 107

§46．数列的极限 107

§47．数列发散的情况 114

§48．数列极限存在的情况 116

§49．数列极限存在的准则 120

§50．数列极限的有理运算 124

§51．数列极限存在与无穷小 126

§52．数列极限的简单应用举例 127

§53．函数f（x）在x→∞时的极限 129

§54．函数f（x）在x→ξ时的极限 132

§55．关于函数极限的几条定理 135

§56．函数极限不存在的情况 137

§57．无穷小的比较 141

附注（1）数列极限定义的补充说明（2）用聚点说明数列极限，（3）聚点存在定理，（4）审敛准则的证明，（5）柯西的普遍审敛准则，（6）柯西审敛准则在函数极限问题上的应用，（7）函数的极限归并到数列的极限 142

第七章　连续函数 148

§58．函数在一点上及在区间内的连续性 148

§59．从连续函数产生连续函数 151

§60．连续函数的特性 153

§61．连续函数的反函数 155

§62．对数函数及指数函数 159

附注（1）奇次代数方程有一实根的证明，（2）连续函数在闭区间内的一致连续，（3）关于指数函数的补充说明，（4）对数发明史上一些事实 161

第八章　导数与微分 166

§63．曲线在一点上的斜率 166

§64．自然现象的瞬时变化率 167

§65．函数在一点上及在区间内的可导性 169

§66．函数的可导性与连续性 173

§67．可导函数的和、积、商 176

§68．可导函数的复合函数 179

§69．可导函数的反函数 182

§70．对数函数及指数函数的可导性 188

§71．双曲函数 190

§72．初等函数的求导问题 193

§73．罗尔定理 198

§74．拉格朗日定理 200

§75．微分 203

§76．高阶导数与高阶微分 207

§77．二阶导数与曲线凹向 208

附注（1）导数存在与连续，（2）作图求导法，（3）无穷大的比较，（4）一个连续可导而各阶导数在一点上都等于零的函数，（5）上凹函数 210

第九章　导数概念在函数研究中的应用 215

§78．极值的充分条件 215

§79．拉格朗日定理的推广 218

§80．极值问题举例 222

§81．不定式问题 225

§82．函数值的近似计算 228

§83．方程的近似解法 231

§84．函数作图问题 234

§85．从曲线的参数方程讨论曲线的特性 238

§91．基本积分表 239

§86．从曲线的极坐标方程讨论曲线的特性 243

附注（1）不定式？（2）e为无理数的证明，（3）不能展开的函数，（4）函数展开的柯西余项式，（5）笛卡儿叶形线，（6）外摆线与内摆线 247

第十章　定积分与不定积分 254

§87．面积问题 254

§88．定积分概念 256

§89．中值定理 260

§90．牛顿-莱布尼兹公式 265

§92．积分的物理意义 273

附注（1）作图求积分法，（2）再论对数及指数函数 274

第十一章　积分法 279

§93．积分法要旨 279

§94．换元法 280

§95．分部积分法 285

§96．有理函数的积分 289

§97．三角及双曲函数的积分 294

§98．几种可以有理化的函数类型 296

§99．不能用初等函数表达的积分 300

§100．定积分的近似计算 301

§101．旁义积分 304

附注（1）泰勒定理的另一证明，（2）表达π的华里斯乘积，（3）n！随n→∞趋大情况的讨论 310

第十二章　微积分概念在几何学与物理学上的简单应用 313

§102．闭合曲线所围的面积 313

§103．弧长 319

§104．曲率 324

§105．质量重心 329

§106．转动惯量 331

§107．物理学中的一阶微分方程举例 334

§108．自由降落与简谐振动 336

附注（1）渐屈线的一种特性，（2）两曲线的n阶接触，（3）牛顿引力的势能 340

参考书目 344