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1 函数 1

1.1预备知识 1

1.2 函数概念 3

习题1-2 6

1.3函数的简单性态 7

习题1-3 10

1.4反函数 11

习题1-4 12

1.5复合函数 12

习题1-5 13

1.6初等函数 14

1.6.1基本初等函数 14

1.6.2初等函数 19

习题1-6 19

1.7 函数关系的建立 19

习题1-7 21

2极限与连续 23

2.1数列极限 23

2.1.1数列 23

2.1.2等差数列与等比数列 24

2.1.3数列极限 24

2.1.4收敛数列的性质 26

习题2-1 28

2.2函数的极限 28

2.2.1 函数f（x）当x→∞时的极限 28

2.2.2 函数f（x）当x→x0时的极限 30

2.2.3函数极限的性质 32

2.2.4 函数极限与数列极限的关系 33

习题2-2 33

2.3无穷小量与无穷大量 34

2.3.1无穷小量 34

2.3.2无穷大量 35

2.3.3无穷小与无穷大的关系 37

习题2-3 37

2.4极限的运算法则 37

习题2-4 40

2.5 函数极限存在准则两个重要极限 42

2.5.1极限存在准则1——单调有界数列必有极限 42

2.5.2极限存在准则2——夹逼定理 43

2.5.3重要极限之一：lim x→0++ sinx/x=1 45

2.5.4重要极限之二：lim x→∞48++（1＋1/x）x=e 46

2.5.5无穷小的比较 48

习题2-5 49

2.6函数的连续性 51

2.6.1函数连续的定义 51

2.6.2 函数的间断点及其分类 52

2.6.3初等函数的连续性 54

2.6.4闭区间上连续函数的性质 55

习题2-6 57

3导数与微分 60

3.1导数的概念 60

3.1.1导数的定义 60

3.1.2可导与连续的关系 64

3.1.3导数的几何意义 67

3.1.4导函数 68

习题3-1 70

3.2求导法则 73

3.2.1导数的四则运算 73

3.2.2复合函数的求导法则 76

3.2.3隐函数求导法 80

习题3-2 84

3.3高阶导数 87

习题3-3 91

3.4微分及其应用 91

3.4.1微分的定义 91

3.4.2微分的几何意义 92

3.4.3微分的运算 93

3.4.4微分的应用 95

习题3-4 96

4中值定理与导数的应用 98

4.1 中值定理 98

4.1.1罗尔中值定理 98

4.1.2拉格朗日中值定理 100

4.1.3柯西中值定理 104

习题4-1 105

4.2未定式的定值法——罗必塔法则 106

4.2.1未定式0/0的定值法 106

4.2.2未定式∞/∞的定值法 110

4.2.3其他未定式的定值法 112

习题4-2 116

4.3函数的单调性、极值与最值 117

4.3.1函数的单调性 117

4.3.2函数的极值 118

4.3.3极值的应用问题——最值 121

习题4-3 124

4.4 曲线的凸性与拐点 126

习题4-4 129

4.5 函数图形的描绘 129

4.5.1 曲线的渐近线 130

4.5.2函数图形的描绘 131

习题4-5 134

5定积分与不定积分 135

5.1定积分的概念 135

5.1.1 引例 135

5.1.2定积分的定义 136

5.1.3定积分的几何意义 138

习题5-1 139

5.2定积分的基本性质 140

习题5-2 143

5.3原函数与不定积分 144

5.3.1原函数与不定积分的概念 144

5.3.2不定积分的性质及基本积分表 146

习题5-3 148

5.4微积分的基本定理 149

5.4.1变上限函数 150

5.4.2微积分的基本定理 152

习题5-4 154

5.5积分计算 155

5.5.1第一类换元法 156

5.5.2第二类换元法 160

5.5.3分部积分法 164

习题5-5 169

5.6几种特殊类型函数的积分 172

5.6.1有理函数的积分 172

5.6.2三角函数有理式的积分 176

5.6.3简单无理函数的积分 179

习题5-6 180

5.7 广义积分 181

5.7.1无穷区间上的广义积分 181

5.7.2无界函数的广义积分 183

习题5-7 185

5.8定积分的应用 186

5.8.1元素法 186

5.8.2平面图形的面积 187

5.8.3立体的体积 191

5.8.4 平面曲线的弧长 193

5.8.5定积分在物理方面的应用 195

5.8.6函数的平均值 197

习题5-8 198

6微分方程 202

6.1微分方程的基本概念 202

习题6-1 204

6.2一阶微分方程 205

6.2.1变量可分离方程 205

6.2.2齐次微分方程 207

6.2.3一阶线件方程 209

习题6-2 212

6.3特殊高阶微分方程 214

6.3.1 y″=f（x）型 214

6.3.2 y″=f（x,y′）型 215

6.3.3 y″=f（y,y′）型 216

习题6-3 217

6.4线性微分方程解的结构 217

6.4.1二阶线性齐次方程解的结构 218

6.4.2二阶线性非齐次方程解的结构 219

习题6-4 220

6.5常系数线性微分方程的解法 221

6.5.1二阶常系数线性齐次方程的解法 221

6.5.2二阶常系数线性非齐次方程的解法 223

习题6-5 229

6.6微分方程应用举例 230

习题6-6 236

附录积分表 238

习题答案 250