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第二册 1

第五章矢量与空间解析几何 1

§1 空间直角坐标系 1

（一）空间直角坐标系的建立，点的坐标 1

目录 1

（二）基本公式和空间方向的确定 4

1两点间的距离公式 4

2线段的定比分点公式 5

3空间方向的确定 8

（一）矢量的概念 11

1矢量的图示法 11

§2 矢量及矢量的代数运算 11

2矢量的模 12

3单位矢量 12

4矢量的种类 13

（二）矢量的加减运算，矢量与数的乘积运算 13

1矢量的加法（几何加） 13

2矢量与数量（标量）的乘法 16

3矢量的线性组合、共面矢量 17

4矢量的减法（几何减） 21

（三）矢量的分解与矢量在轴上的投影 22

1矢量的分解 22

2矢量在直角坐标系中的分量 22

3矢量合成的解析法与矢量在轴上的投影 24

（四）矢量的坐标表示 27

（五）矢量的标积 30

（六）矢量的矢积 33

1矢积的定义和性质 33

2矢积的分量表示法 36

（七）矢量的混合积 39

1混合积的定义及性质 39

2混合积的分量表示 42

（八）矢量的二重矢积 44

（九）矢量不变性原理 45

（十）极矢量与轴矢量 46

1矢性函数的概念 51

§3 变矢及变矢的简单微分与积分计算 51

（一）矢性函数（变矢）及变矢的极限与连续 51

2矢量曲线 52

3单变矢性函数的极限和连续性 58

（二）单变矢性函数的导数（导矢） 59

1单变矢性函数导数的概念 59

2矢性函数导数的公式 61

3导矢在力学中的应用 62

（三）矢性函数的微分 67

（四）单变矢性函数的积分 68

§4平面的方程 81

（一）平面的点法式方程 82

（二）平面的一般式方程 83

（三）平面的参数方程 84

（四）平面其它形式方程 85

1平面的三点式方程 85

2平面的截距式方程 86

3平面的法式方程 87

（五）点到平面的距离 87

（六）两平面的位置关系 88

1两平面平行的充要条件 88

2两平面相交的充要条件 89

3两平面的交角 89

（一）直线的点向式方程和参数方程 92

§5直线的方程 92

（二）直线的一般方程 94

（三）两直线的夹角 96

（四）直线和平面的相关位置 98

1直线和平面平行的充要条件 98

2直线和平面相交的充要条件、交角 98

§6 二次曲面 118

（一）旋转曲面 118

（二）椭球面 120

（三）单叶双曲面 121

（四）双叶双曲面 123

（五）椭圆抛物面 124

（六）双曲抛物面 125

（七）锥面 127

（八）柱面 129

§7 空间曲线 132

（一）空间曲线作为两曲面的交线 132

（二）空间曲线在坐标面上的投影 134

（三）空间曲线的参数方程 136

第六章多元函数微分法及其应用 143

§1 多元（多变数）函数概念，定义域 143

（一）二元函数及其定义域，点函数 143

（二）二元函数的几何意义，等值（高）线 153

§2二元（二变数）函数的极限和连续 156

§3 偏导数和全微分 167

（一）偏导数与偏微分 167

（二）高阶偏导数（或偏微商） 173

（三）二元函数偏导数的几何意义 175

（四）全微分存在 177

（五）切平面及其存在的条件 187

（六）全微分在近似计算中的应用 190

（七）估计函数值的误差 192

§4方向导数、梯度 205

（一）方向导数概念及计算公式 205

（二）梯度及其性质 210

（一）复合函数微分法 215

§5 二元函数的微分法 215

（二）隐函数的微分法 222

§6 空间曲线的切线、法平面，曲面的切平面、法线 256

（一）空间曲线的切线与法平面 256

（二）曲面的切平面与法线 257

§7泰勒定理 274

§8二元函数的极值 279

§9 条件极值问题 295

第七章多元函数的积分学…………………………（321 ）§1 多元函数的几种类型积分概念的引入，积分的简单性质 322

（一）几种积分的引入 322

（二）几种积分的统一 329

（三）积分的性质 330

（一）二重积分的概念及其性质 331

§2二重积分 331

（二）二重积分的意义 337

1几何意义 337

2薄板的质量 338

（三）二重积分的计算 339

1二重积分在直角坐标系下的累次积分公式 339

2二重积分的变量变换公式 363

（四）广义二重积分 383

（五）曲面面积的计算与一型曲面积分 390

1曲面面积 390

2一型曲面积分 399

（一）三重积分的概念 410

§3 三重积分 410

（二）在直角坐标系中三重积分的计算 412

（三）柱坐标与球坐标 421

（四）三重积分的变量替换公式 423

1变换为柱坐标 424

2变换为球坐标 425

（五）重积分在静力学中的应用 438

1质量 438

2重心 438

3转动惯量 440

§4 曲线积分 474

（一）第一型（对弧长）的曲线积分 474

（二）第二型（对坐标）的曲线积分 477

§5 格林公式、曲线积分与积分路径无关的条 493

件 493

§6 第二型曲面积分（通量），奥－高公式与司托克斯公式 522

（一）曲面积分（二型）的概念，计算公式 522

（二）曲面积分与三重积分的关系，奥－高公 542

式 542

（三）曲线积分与曲面积分的关系，司托克斯公式 564

（四）通量为正、为负、为零的物理意义 578

§7 含参变量的定积分 580

第八章场论及场的分类 621

（一）数量场的等值面 622

§1 数量场的梯度场 622

（二）数量场中的方向导数 624

（三）数量场的梯度场是矢量场 626

§2 矢量场的散度，管量场 637

（一）矢量场的矢量曲线 637

（二）矢量场的通量，散度 640

1通量 640

2矢量场的散度，矢量场的散度场是数量场 641

（三）矢量场中的高斯定理、管量场 644

1高斯定理 644

2积分曲面变形问题 651

3管量场 652

§3 矢量场的旋度，有势场 653

（一）二维矢量场的旋度 654

1环流 654

2二维矢量场的旋度，矢量场中的格林定理 657

3二维矢量场的旋度的命名 659

4无旋矢量场？（M）的势 662

（二）三维矢量场的旋度 665

（三）矢量场中的司托克斯定理 668

（四）积分曲线变形问题、无旋场的势 669

（五）矢量势，旋度场是管量场 674

§4 算子△及调和场 686

*附录 687

（一）全微分方程积分因子 708

第九章微分方程 708

§1 一阶常微分方程的其它可积类型 708

（二）隐式方程 715

1不显含y的情形 715

2不显含x的情形 716

3易解出y的情形 717

4易解出x的情形 719

§2 一阶常微分方程解的存在唯一性及其它解法 721

（一）解的存在唯一性定理 721

（二）逐次逼近法 727

（三）数值解法 729

（一）幂级数解法及例 734

§3 二阶变系数常微分方程的幂级数解法 734

（二）广义幂级数解法及例 738

§4 常微分方程组 742

（一）方程组概说 742

（二）方程组的初等积分法 744

（三）常微分方程组与一阶线性偏微分方程的关系 753

（四）线性方程组的基本理论 757

（五）常系数线性方程组 761

§5 拉普拉斯变换及其在求解常系数线性微分方程（组）中的应用 771

（一）基本概念及理论 772

（二）应用举例 783