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目录 1

第一篇空间解析几何学 1

第一章基本概念及矢量代数初步 1

§1．空间有向线段的射影 1

下册 1

§2．空间直角坐标系 2

§3．有向线段的坐标 6

§4．矢量概念 8

1.矢量的矢积 11

§5．矢量的标积 11

附注 11

2.矢量函数的求导 16

第二章平面、直线及曲面的方程 16

§6．平面方程的法式 16

§7．三元一次方程 17

§8．两平面的交角 19

§9．空间直线方程 21

§10．有向三角形的射影 25

§11．空间坐标轴的旋转 28

§12．曲面方程举例 30

第二篇多元函数的微分学 36

第三章偏导数与全微分 36

§13．多元函数概念 36

§14．二重极限 39

§15．二元函数在一点上及在定义域内的连续性 44

§16．偏导数 48

§17．二元函数的可导性与可微性 51

§18．方向导数 54

§19．链导法的推广 56

§20．全微分 60

§21．二元函数的拉格朗日定理与泰勒定理 64

附注 64

1.关于重极限的存在问题， 64

2.闭集与开集， 64

3.极限归并原则， 64

4.再论二元函数在一个自变量固定时的极限 64

§22．方程在一点邻近的解开 71

第四章从隐函数研究曲线及曲面 71

§23．隐函数求导法 75

§24．平面曲线、空间曲线与曲面的讨论 77

§25．平面曲线的奇点 82

§26．坐标变换与反变换 83

§27．球面坐标与柱面坐标 87

第三篇无穷级数 90

4.极值的充分条件 90

3.空间曲线的曲率与挠率，弗雷耐公式， 90

2.曲面的参数方程 90

1.平面的参数方程， 90

附注 90

§28．二元函数的极值问题 90

第五章常数项与函数项级数 106

§29．无穷级数的收敛与发散 106

§30．正项级数的收敛问题 109

§31．绝对收敛与条件收敛 114

§32．函数项级数的一致收敛问题 118

§33．函数项级数的逐项积分与求导问题 125

§34．幂级数 129

§35．函数展开为幂级数问题 133

§36．无穷级数与旁义积分 138

3.级数的相乘 139

6.无穷乘积 139

5.阿贝尔定理的证明 139

4.阿贝尔审敛准则 139

2.级数项易位问题 139

1.柯西普遍审敛准则应用于级数 139

附注 139

§37．复变量幂级数 139

第六章富里哀级数 153

§38．三角级数与周期函数 153

§39．函数的富里哀级数 155

§40．富里哀级数的收敛问题 157

§41．富里哀级数举例 161

§42．正交函数系 167

附注 170

1.吉勃斯现象 170

§43．富里哀级数的复数形式 170

2.富里哀级数的逐项求积分。 175

第四篇多元函数的积分学 175

第七章重积分及其应用 175

§44．含参数的定积分 175

§45．二重积分概念 180

§46．重积分的基本特性 184

§47．矩形域上重积分的计算 187

§48．任意域上重积分的计算 190

§49．重积分转换于极坐标 193

§50．三重积分略说 195

§51．旁义重积分 197

§52．用重积分计算容积 199

§53．曲面的面积 202

§54．重积分在物理学中的简单应用 206

§55．线积分概念 218

2.含参数的旁义积分。 218

第八章线积分与面积分 218

1.重极限与累极限的关系 218

附注 218

§56．线积分与路线无关的问题 222

§57．全微分求积分问题 223

§58．线积分的基本定理 226

§59．矢量场与标量场 230

§60．联系重积分与线积分的高斯定理 234

§61．格林公式 240

§62．面积分概念 242

§63．联系重积分与面积分的奥斯特洛格拉茨基定理 246

§64．联系面积分与线积分的斯托克斯定理 248

附注重积分转换式 248

1.斯托克斯定理的证明 248

2.矢量场作为旋度场的充分条件 248

第九章一阶微分方程 255

§65．一阶微分方程的几何意义 255

§66．变量可分离的一阶微分方程 259

§67．用变量转换求变量的分离 261

§68．一阶线性微分方程 265

§69．全微分方程 268

§70．单参数曲线族的微分方程 272

§71．一阶微分方程组 275

附注 275

1.平面曲线族的包络 275

2.克莱劳微分方程 275

3.欧拉-柯西折线近似积分法 275

第十章二阶线性微分方程 281

§72．解的存在定理 281

§73．齐次二阶线性微分方程的解 282

§74．常系数齐次二阶线性微分方程 286

§75．简谐振动与阻尼振动 288

§76．非齐次二阶线性微分方程 291

§77．强迫振动 296

§78．贝塞尔微分方程略说 297

附注 297

1.二阶微分方程的边值问题 297

2.高于二阶的常系数齐次线性微分方程的基解组。 297

§80．波动方程的初值问题 300

§79．求积分的几种简单方法 301

第十一章数学物理学中的偏微分方程 301

§81．圆域上拉普拉斯方程的边值问题 310

§82．自由的弦振动 312

§83．阻尼的弦振动 318

§84．热传导方程 319

第六篇复变函数的微积分学 323

第十二章解析函数的特性 323

§85．可导性的条件 323

§86．解析函数的反函数 329

§87．复变函数的定积分与不定积分 330

§88．柯西-古萨基本定理 334

§89．从复变对数到复变初等函数 337

§90．解析函数与保形映射 341

§91．柯西-古萨基本定理的一种应用 351

§92．柯西积分公式 354

§93．解析函数的泰勒展开 356

§94．解析函数的罗朗展开 359

§95．留数定理 362

§96．解析函数与拉普拉斯方程 365

参考书目 368