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第1章 绪论 1

1.1 偏微分方程的一些基本概念 1

1.2 数学物理方程的导出 4

1.2.1 理想弦的横振动方程 4

1.2.2 热传导方程 6

1.2.3 静电场的场位方程 8

1.3 定解条件和定解问题 9

1.3.1 初始条件和初始问题 9

1.3.2 边界条件和边值问题 10

1.3.3 混合问题 11

1.3.4 定解问题的适定性 13

1.4 定解问题的叠加原理 14

1.5 二阶线性偏微分方程的分类 16

习题1 20

第2章 积分法和达朗贝尔公式 22

2.1 积分法 22

2.2 一维波动方程的达朗贝尔公式 25

2.2.1 达朗贝尔公式 25

2.2.2 达朗贝尔公式的物理意义 26

2.2.3 达朗贝尔公式的依赖区间和影响区域 27

2.3 一维非齐次波动方程的柯西问题 28

2.4 三维和二维波动方程的泊松公式 32

2.4.1 三维波动方程的泊松公式 32

2.4.2 二维波动方程的泊松公式 34

2.4.3 三维与二维波动方程的泊松公式的物理意义 35

习题2 37

第3章 分离变量法 40

3.1 齐次方程齐次边界条件的定解问题 40

3.2 非齐次方程齐次边界条件的定解问题 49

3.3 非齐次边界条件的处理 53

3.4 周期性条件的定解问题 56

3.5 固有值问题 62

3.5.1 斯图姆-刘维尔问题和固有值问题的概念 62

3.5.2 斯图姆-刘维尔问题的几个重要性质 63

习题3 65

第4章 傅立叶变换法 69

4.1 傅立叶积分与傅立叶变换 69

4.1.1 傅立叶积分 69

4.1.2 傅立叶变换及其逆变换 71

4.1.3 高维傅立叶变换及其逆变换 72

4.2 傅立叶变换的基本性质 76

4.2.1 傅立叶变换的运算性质 76

4.2.2 卷积及其性质 78

4.2.3 高维傅立叶变换及其性质 80

4.3 δ函数及广义傅立叶变换 80

4.3.1 δ函数 80

4.3.2 广义傅立叶变换 83

4.4 傅立叶变换的应用 84

习题4 86

第5章 拉普拉斯变换法 88

5.1 拉普拉斯变换 88

5.1.1 拉普拉斯变换的定义 88

5.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 90

5.2 拉普拉斯变换的基本性质 91

5.2.1 拉普拉斯变换的运算性质 91

5.2.2 卷积及其性质 95

5.3 拉普拉斯逆变换 96

5.4 拉普拉斯变换的应用 99

习题5 105

第6章 格林函数法 107

6.1 格林公式 107

6.1.1 格林第一公式和格林第二公式 107

6.1.2 基本积分公式 108

6.1.3 调和函数平均值公式 111

6.1.4 二维调和函数的情况 112

6.2 拉普拉斯算子的格林函数 113

6.2.1 格林函数的导出 113

6.2.2 格林函数的定义 114

6.2.3 格林函数的性质 116

6.2.4 格林函数的物理意义 117

6.3 几种特殊区域上的格林函数及狄里克莱问题的解 117

习题6 123

第7章 基本解法 124

7.1 δ函数及性质 124

7.1.1 δ函数的定义和物理背景 124

7.1.2 δ函数的性质 126

7.2 广义函数简介 131

7.2.1 广义函数的概念 131

7.2.2 广义函数的弱极限 132

7.2.3 广义函数的导数 135

7.3 Lu=0型方程的基本解 137

7.3.1 椭圆型方程的基本解 137

7.3.2 基本解的求法 138

7.4 ut=Lu型方程的柯西问题的基本解 142

7.4.1 抛物型方程的基本解 142

7.4.2 抛物型方程的冲量原理 145

7.4.3 一维热传导方程基本解的物理意义 146

7.5 uu=Lu型方程的柯西问题的基本解 147

7.5.1 双曲型方程的基本解的积分表示 147

7.5.2 三维非齐次波动方程柯西问题解的积分表示 151

习题7 152

第8章 变分法 155

8.1 泛函与变分 155

8.1.1 泛函的定义 155

8.1.2 变分 156

8.1.3 泛函的连续 156

8.1.4 泛函的变分 157

8.1.5 泛函的极值 157

8.2 泛函极值的必要条件及欧拉方程 158

8.2.1 泛函极值的必要条件 158

" 8.2.2 泛函J[y]=∫x1 x0 F（x,y,y'）dx的欧拉方程 159

8.2.3 含有较高阶导数的泛函和多个变量函数的欧拉方程 162

8.3 多元函数的泛函及其极值问题 162

8.3.1 边界已定的变分问题 162

8.3.2 无约束变分问题 164

8.4 泛函的条件极值问题 165

8.5 变分原理 168

8.5.1 位势方程边值问题变分原理 168

8.5.2 固有值问题变分原理 170

8.6 里兹方法 171

习题8 175

第9章 贝塞尔函数 178

9.1 贝塞尔方程的导出 178

9.2 贝塞尔函数 179

9.3 贝塞尔函数的性质 184

9.3.1 母函数和积分表示 184

9.3.2 微分关系和递推公式 185

9.3.3 贝塞尔半阶函数 189

9.3.4 贝塞尔函数渐近公式 190

9.3.5 贝塞尔函数的零点和衰减振荡性 190

9.4 贝塞尔方程的固有值问题 191

习题9 196

第10章 勒让德函数 199

10.1 勒让德方程的导出 199

10.2 勒让德方程求解 200

10.3 勒让德多项式 202

10.3.1 勒让德多项式 202

10.3.2 罗巨格公式 203

10.3.3 勒让德多项式的母函数 204

10.3.4 勒让德多项式的递推公式 205

10.4 勒让德方程的固有值问题 206

10.4.1 固有值和固有函数 206

10.4.2 勒让德多项式的正交性 206

10.4.3 勒让德多项式的模 207

10.5 应用举例 209

10.6 连带勒让德多项式 211

10.6.1 连带勒让德方程的解 212

10.6.2 连带勒让德方程的本征值问题 213

习题10 213

附录 215

附录Ⅰ Fourier变换简表 215

附录Ⅱ Laplace变换简表 217