2016考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学一 下PDF电子书下载

第2篇 线性代数 294

2.1 计算行列式 294

2.1.1 计算数字型行列式 294

题型2.1.1.1 计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式 294

题型2.1.1.2 计算非零元素在三条线上的行列式 295

题型2.1.1.3 计算行（列）和相等的行列式 297

题型2.1.1.4 计算范德蒙行列式 297

题型2.1.1.5 求代数余子式线性组合的值 299

题型2.1.1.6 计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和 299

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 300

题型2.1.2.1 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 300

题型2.1.2.2 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 301

题型2.1.2.3 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 302

题型2.1.2.4 证明方阵的行列式等于零，或不等于零 302

2.1.3 克拉默法则的应用 303

2.2 矩阵 306

2.2.1 证明矩阵的可逆性 306

题型2.2.1.1 已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵 306

题型2.2.1.2 证明矩阵A可逆，且A-1=B 307

题型2.2.1.3 证明和（差）矩阵可逆 308

题型2.2.1.4 求矩阵的逆矩阵，该矩阵含一（些）矩阵的逆矩阵 309

题型2.2.1.5 证明方阵为不可逆矩阵 310

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 310

2.2.3 求解与伴随矩阵有关的问题 311

题型2.2.3.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 312

题型2.2.3.2 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 313

题型2.2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 313

题型2.2.3.4 求伴随矩阵 313

2.2.4 计算n阶矩阵的高次幂 314

题型2.2.4.1 计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂 314

题型2.2.4.2 计算能相似对角化的矩阵的高次幂 315

题型2.2.4.3 计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂 316

题型2.2.4.4 计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵的高次幂 316

2.2.5 求矩阵的秩 317

题型2.2.5.1 求元素具体给定的矩阵的秩 317

题型2.2.5.2 求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩 318

题型2.2.5.3 已知矩阵的秩，求其待定常数 321

2.2.6 分块矩阵乘法运算的应用举例 322

2.2.7 求解矩阵方程 323

题型2.2.7.1 求解含单位矩阵加项的矩阵方程 323

题型2.2.7.2 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 325

题型2.2.7.3 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 325

题型2.2.7.4 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 328

2.2.8 初等变换与初等矩阵的关系的应用 328

题型2.2.8.1 用初等矩阵表示相应的初等变换 328

题型2.2.8.2 利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵 329

2.3 向量 330

2.3.1 判别向量组线性相关与线性无关 330

题型2.3.1.1 用线性相关性定义做选择题、填空题 330

题型2.3.1.2 判别分量已知的向量组的线性相关性 331

题型2.3.1.3 证明几类向量组的线性相关性 332

题型2.3.1.4 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 337

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表示 338

题型2.3.2.1 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 338

题型2.3.2.2 判断一抽象向量能否由向量组线性表示 339

题型2.3.2.3 判别一向量组能否由另一向量组线性表示 340

2.3.3 两向量组等价的判别方法及常用证法 341

2.3.4 向量组的秩与极大线性无关组 344

题型2.3.4.1 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组 345

题型2.3.4.2 将向量用极大线性无关组线性表示 346

题型2.3.4.3 证明抽象向量组的秩有关问题 346

题型2.3.4.4 证某向量组为一极大无关组 348

2.3.5 向量空间 348

题型2.3.5.1 求解空间的基、标准正交基（规范正交基） 349

题型2.3.5.2 求过渡矩阵 351

题型2.3.5.3 求向量在某组基下的坐标 352

2.4 线性方程组 355

2.4.1 判定线性方程组解的情况 355

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况 355

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况 357

2.4.2 由其解反求方程组或其参数 359

题型2.4.2.1 已知AX=0的解的情况，反求A中参数 359

题型2.4.2.2 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 359

题型2.4.2.3 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 360

2.4.3 证明一组向量为基础解系 362

2.4.4 基础解系和特解的简便求法 362

2.4.5 求解含参数的线性方程组 364

题型2.4.5.1 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 364

题型2.4.5.2 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 365

题型2.4.5.3 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 366

题型2.4.5.4 求含参数的方程组满足一定条件的通解 367

题型2.4.5.5 求解有无穷多解的矩阵方程 367

2.4.6 求抽象线性方程组的通解 369

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解 369

题型2.4.6.2 已知AX=b的特解，求其通解 370

题型2.4.6.3 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 371

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解 372

题型2.4.7.1 求两齐次线性方程组的非零公共解 372

题型2.4.7.2 证明两齐次线性方程组有非零公共解 375

题型2.4.7.3 讨论两方程组同解的有关问题 375

2.5 矩阵的特征值、特征向量 377

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 377

题型2.5.1.1 求元素给出的矩阵的特征值、特征向量 377

题型2.5.1.2 证明（判别）抽象矩阵的特征值、特征向量 379

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 381

题型2.5.2.1 由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数 381

题型2.5.2.2 已知特征值、特征向量，反求其矩阵 382

题型2.5.2.3 计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵 383

2.5.3 求相关联矩阵的特征值、特征向量 384

2.5.4 判别同阶方阵是否相似 386

题型2.5.4.1 判别或证明方阵是否可对角化 386

题型2.5.4.2 判别或证明两同阶方阵是否相似 388

2.5.5 相似矩阵性质的简单应用 389

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算 390

题型2.5.6.1 矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 390

题型2.5.6.2 A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QT AQ=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 391

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A 392

题型2.5.6.4 已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B 393

2.6 二次型 394

2.6.1 化二次型为标准形 394

题型2.6.1.1 化二次型为标准形 394

题型2.6.1.2 已知二次型的标准形，确定该二次型 402

2.6.2 判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性 403

题型2.6.2.1 判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性 404

题型2.6.2.2 判别或证明抽象的二次型（或实对称矩阵）的正定性 406

题型2.6.2.3 确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定 408

题型2.6.2.4 证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性 409

2.6.3 合同矩阵 409

题型2.6.3.1 判别两实对称矩阵合同 409

题型2.6.3.2 讨论矩阵等价、相似及合同的关系 411

第3篇 概率论与数理统计 414

3.1随机事件和概率 414

3.1.1 随机事件间的关系及运算 414

题型3.1.1.1 描绘随机试验的样本空间 414

题型3.1.1.2 用式子表示事件关系及其运算 414

题型3.1.1.3 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 415

题型3.1.1.4 求满足一定条件的事件关系 415

3.1.2 直接计算随机事件的概率 416

题型3.1.2.1 计算古典型概率 416

题型3.1.2.2 计算几何型概率 417

题型3.1.2.3 计算伯努利概型中事件的概率 419

3.1.3 间接计算随机事件的概率 420

题型3.1.3.1 计算和、差、积事件的概率 420

题型3.1.3.2 求与包含关系有关的事件的概率 422

题型3.1.3.3 计算与互斥事件有关的事件的概率 423

题型3.1.3.4 求与条件概率有关的事件的概率 423

题型3.1.3.5 求与他事件有关的单个事件的概率 423

题型3.1.3.6 判别或证明事件概率不等式 424

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用 424

题型3.1.4.1 用加法公式求解实际应用题 424

题型3.1.4.2 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 425

题型3.1.4.3 用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题 425

题型3.1.4.4 利用抽签原理计算事件概率 429

3.1.5 判别事件的独立性 430

题型3.1.5.1 判别（证明）两事件相互独立 430

题型3.1.5.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 431

3.2 一维随机变量及其分布 433

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用 433

题型3.2.1.1 判别分布列、概率密度及分布函数 434

题型3.2.1.3 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件 435

题型3.2.1.4 求随机变量落在某点或某区间上的概率 436

3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 438

题型3.2.2.1 求概率分布（分布律）及其分布函数 438

题型3.2.2.2 求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值 439

题型3.2.2.3 求概率密度 442

3.2.3 利用常见分布计算有关事件的概率 443

题型3.2.3.1 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 443

题型3.2.3.2 利用超几何分布计算事件的概率 445

题型3.2.3.3 利用几何分布计算事件的概率 445

题型3.2.3.4 利用泊松分布计算事件的概率 446

题型3.2.3.5 利用均匀分布计算事件的概率 447

题型3.2.3.6 利用指数分布计算事件的概率 448

题型3.2.3.7 利用正态分布计算事件的概率 450

题型3.2.3.8 利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率 453

3.2.4 随机变量函数的分布 454

题型3.2.4.1 已知一离散型随机变量的分布，求其函数（另一离散型随机变量）的分布 454

题型3.2.4.2 已知一连续型随机变量的分布，求其函数（另一连续型随机变量）的分布 455

题型3.2.4.3 已知一连续型随机变量的分布，求其函数（离散型随机变量）的分布 458

题型3.2.4.4 讨论随机变量函数分布的性质 459

3.3 二维随机变量的联合概率分布 460

3.3.1 求二维随机变量的分布 460

题型3.3.1.1 求二维离散型随机变量的联合分布律 460

题型3.3.1.2 求二维随机变量的边缘分布 463

题型3.3.1.3 由联合分布、边缘分布求条件分布 467

题型3.3.1.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布 470

题型3.3.1.5 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 471

3.3.2 随机变量的独立性 472

题型3.3.2.1 判别两随机变量的独立性 472

题型3.3.2.2 利用独立性确定联合分布中的待定常数 476

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率 477

题型3.3.3.1 计算两离散型随机变量运算后取值的概率 477

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 478

题型3.3.3.3 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率 479

题型3.3.3.4 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 480

3.3.4 求二维随机变量函数的分布 480

题型3.3.4.1 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律 480

题型3.3.4.2 求两随机变量之和的分布 483

题型3.3.4.3 已知X，Y的分布，求max（X，Y）或（和）min（X，Y）的分布 486

3.4 随机变量的数字特征 489

3.4.1 求一维随机变量的数字特征 489

题型3.4.1.1 求随机变量的数学期望与方差 489

题型3.4.1.2 求随机变量函数的数学期望与方差 493

题型3.4.1.3 计算随机变量的矩 496

3.4.2 求二维随机变量的数字特征 496

题型3.4.2.1 求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差 496

题型3.4.2.2 计算协方差和相关系数 499

3.4.3 计算两类分布的数字特征 507

题型3.4.3.1 计算正态分布的数字特征 507

题型3.4.3.2 计算Z = max（X，Y）或（和）W = min（X，Y）的数字特征 508

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系 511

题型3.4.4.1 确定两随机变量相关与不相关 511

题型3.4.4.2 讨论相关性与独立性的关系 512

3.4.5 已知数字特征，求分布中的待定常数 513

3.4.6 求解两类综合应用题 515

题型3.4.6.1 求解与数字特征有关的实际应用题 515

题型3.4.6.2 求解概率论与其他数学分支的综合应用题 516

3.5 大数定律和中心极限定理 518

3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率 518

3.5.2 大数定律成立的条件和结论 520

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件解题 523

题型3.5.2.2 求随机变量序列依概率的收敛值 525

3.5.3 两个中心极限定理的简单应用 526

题型3.5.3.1 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件概率 527

题型3.5.3.2 已知随机变量取值的概率，估计取值范围 528

题型3.5.3.3 应用列维-林德伯格中心极限定理的条件、结论解题 528

题型3.5.3.4 近似计算n个随机变量之和取值的概率 529

题型3.5.3.5 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 530

3.6 数理统计初步 531

3.6.1 求解与统计量分布有关的问题 531

题型3.6.1.1 求解与统计量分布有关的基本概念问题 531

题型3.6.1.2 求统计量的分布及其分布参数 534

题型3.6.1.3 求统计量取值的概率 539

题型3.6.1.4 求统计量的数字特征 541

题型3.6.1.5 求经验分布函数 542

3.6.2 参数估计 543

题型3.6.2.1 求总体分布中未知参数的矩估计量（值） 544

题型3.6.2.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 547

题型3.6.2.3 判别估计量的无偏性、有效性和一致性（相合性） 550

题型3.6.2.4 求正态总体参数的置信区间及其有关参数 555

3.6.3 假设检验 561

题型3.6.3.1 计算简单情形下的两类错误概率 561

题型3.6.3.2 对单个正态总体参数进行假设检验 562

题型3.6.3.3 对两个正态总体参数进行假设检验 564

题型3.6.3.4 用检验方法及其结论做填空题与选择题 565