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第7章 向量代数与空间解析几何 1

7.1 空间直角坐标系 1

7.1.1 空间直角坐标系和空间点的坐标 1

7.1.2 两点间的距离 2

习题7.1 3

7.2 向量的线性运算及向量的坐标 4

7.2.1 向量的概念 4

7.2.2 向量的加法 4

7.2.3 数乘向量 6

7.2.4 向量的坐标 7

习题7.2 11

7.3 向量的数量积和向量积 12

7.3.1 向量的数量积 12

7.3.2 向量的向量积 14

习题7.3 16

7.4 平面及其方程 17

7.4.1 平面的点法式方程 17

7.4.2 平面的一般式方程 18

7.4.3 两平面的夹角 20

习题7.4 22

7.5 空间直线及其方程 22

7.5.1 空间直线的一般方程 22

7.5.2 空间直线的点向式方程和参数方程 22

7.5.3 两直线的夹角 25

7.5.4 直线与平面的夹角 26

7.5.5 平面束及其应用 26

习题7.5 27

7.6 常用空间曲面及其方程 28

7.6.1 曲面方程的概念 28

7.6.2 旋转曲面 30

7.6.3 柱面 32

7.6.4 二次曲面 33

习题7.6 36

7.7 空间曲线及其方程 37

7.7.1 空间曲线的一般方程 37

7.7.2 空间曲线的参数方程 37

7.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 38

习题7.7 40

总习题七 40

第8章 多元函数微分法及其应用 43

8.1 多元函数的基本概念 43

8.1.1 平面点集 43

8.1.2 多元函数的概念 46

8.1.3 多元函数的极限 48

8.1.4 多元函数的连续性 50

习题8.1 53

8.2 偏导数 53

8.2.1 偏导数及其计算法 53

8.2.2 高阶偏导数 57

习题8.2 58

8.3 全微分 59

8.3.1 全微分的定义 59

8.3.2 全微分存在的条件 59

8.3.3 全微分在近似计算中的应用 62

习题8.3 63

8.4 多元复合函数的求导法则 63

习题8.4 69

8.5 隐函数的求导公式 70

习题8.5 75

8.6 微分法在几何上的应用 75

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 75

8.6.2 曲面的切平面与法线 79

习题8.6 82

8.7 多元函数的极值及其求法 82

8.7.1 多元函数的极值 82

8.7.2 多元函数的最值 85

8.7.3 条件极值及拉格朗日乘数法 86

习题8.7 89

8.8 方向导数与梯度 89

习题8.8 96

8.9 二元函数的泰勒公式 96

习题8.9 102

总习题八 102

第9章 重积分 105

9.1 二重积分的概念与性质 105

9.1.1 二重积分的概念 105

9.1.2 二重积分的性质 108

习题9.1 109

9.2 二重积分与二次积分 109

习题9.2 112

9.3 一般积分区域上的二重积分 113

习题9.3 119

9.4 利用极坐标计算二重积分 120

习题9.4 124

9.5 二重积分的应用 125

9.5.1 曲面的面积 125

9.5.2 平面薄片的质量、力矩、质心 127

9.5.3 平面薄片的转动惯量 130

习题9.5 131

9.6 三重积分 131

习题9.6 139

9.7 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 139

9.7.1 利用柱面坐标计算三重积分 140

9.7.2 利用球面坐标计算三重积分 142

习题9.7 145

总习题九 146

第10章 曲线积分与曲面积分 148

10.1 对弧长的曲线积分 148

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 148

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算 150

习题10.1 154

10.2 对坐标的曲线积分 155

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 155

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算 158

10.2.3 两类曲线积分之间的联系 163

习题10.2 164

10.3 格林公式及其应用 165

10.3.1 格林公式 165

10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 170

10.3.3 二元函数的全微分求积 173

10.3.4 曲线积分的基本定理 176

习题10.3 177

10.4 对面积的曲面积分 179

10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 179

10.4.2 对面积的曲面积分的计算 180

习题10.4 182

10.5 对坐标的曲面积分 183

10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 183

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算 188

10.5.3 两类曲面积分的联系 191

习题10.5 193

10.6 高斯公式 193

10.6.1 高斯公式 193

10.6.2 沿空间任意闭曲面的曲面积分为零的条件 198

10.6.3 通量与散度 199

习题10.6 201

10.7 斯托克斯公式 202

10.7.1 斯托克斯公式 202

10.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 207

10.7.3 环流量与旋度 208

习题10.7 211

总习题十 212

第11章 微分方程 215

11.1 微分方程的基本概念 215

习题11.1 218

11.2 可分离变量的微分方程 219

习题11.2 220

11.3 一阶齐次方程 220

11.3.1 一阶齐次方程 220

11.3.2 可化为一阶齐次方程的方程 221

习题11.3 223

11.4 一阶线性微分方程 223

11.4.1 一阶线性方程 223

11.4.2 伯努利方程 226

习题11.4 227

11.5 可降阶的高阶微分方程 227

11.5.1 y（n）=f（x）型的微分方程 227

11.5.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 228

11.5.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 229

习题11.5 231

11.6 二阶线性微分方程的解的结构 231

习题11.6 234

11.7 二阶常系数线性微分方程 234

习题11.7 241

11.8 欧拉方程 241

习题11.8 243

11.9 微分方程的应用 243

习题11.9 247

11.10 常系数线性微分方程组解法举例 248

习题11.1 0 250

总习题十一 250

第12章 无穷级数 253

12.1 常数项级数的概念与性质 253

12.1.1 常数项级数的概念 253

12.1.2 常数项级数的基本性质 255

12.1.3 柯西审敛原理 257

习题12.1 258

12.2 常数项级数的审敛法 259

12.2.1 正项级数及其审敛法 259

12.2.2 交错级数及其审敛法 266

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 267

习题12.2 269

12.3 幂级数 272

12.3.1 函数项级数的一般概念 272

12.3.2 幂级数及其收敛域 273

12.3.3 幂级数的运算与性质 277

习题12.3 280

12.4 函数展开成幂级数 281

12.4.1 泰勒级数 281

12.4.2 函数展开成幂级数 282

习题12.4 286

12.5 函数的幂级数展开式的应用 287

12.5.1 近似计算 287

12.5.2 微分方程的幂级数解法 289

12.5.3 欧拉公式 291

习题12.5 292

12.6 傅里叶级数 293

12.6.1 三角级数及三角函数系的正交性 293

12.6.2 函数展开成傅里叶级数 294

12.6.3 正弦级数和余弦级数 299

习题12.6 302

12.7 一般周期函数的傅里叶级数 303

习题12.7 307

总习题十二 308

附录D 二阶和三阶行列式简介 311

习题答案与提示 315