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第一篇 复变函数 1

第一章 复变函数 1

1.1复数的概念及运算 1

1.2复变函数 3

1.3复变函数的导数 4

1.4解析函数 6

1.5几种简单的解析函数 8

1.6多值函数 9

第二章 复变函数的积分 12

2.1复变函数的积分 12

2.2柯西定理 13

2.3柯西公式 16

2.4泊松积分公式 18

第三章 解析函数的幂级数展开 21

3.1复变函数项级数 21

3.2幂级数 22

3.3泰勒级数展开 23

3.4洛朗级数展开 25

3.5孤立奇点的分类 29

第四章 留数定理及应用 32

4.1留数定理 32

4.2留数的计算方法 33

4.3留数定理的应用 35

4.4补充内容 39

第五章 傅里叶变换 45

5.1傅里叶级数 45

5.2傅里叶变换 48

5.3傅里叶变换的性质 52

5.4 δ函数 54

第六章 拉普拉斯变换 60

6.1拉普拉斯变换的定义 60

6.2拉普拉斯变换的性质 62

6.3拉普拉斯变换的反演 64

6.4拉普拉斯变换的应用 66

第二篇 数学物理方程 72

第七章 数学物理方程的建立 72

7.1波动方程 72

7.2输运方程 75

7.3泊松方程 77

7.4定解条件 78

第八章 分离变量法 82

8.1直角坐标系中的分离变量法 82

8.2平面极坐标系中的分离变量法 88

8.3柱坐标系中的分离变量法 93

8.4球坐标系中的分离变量法 96

8.5施图姆-刘维尔型方程的本征值问题 100

第九章 傅里叶级数展开法 103

9.1强迫振动的定解问题 103

9.2有源热传导的定解问题 106

9.3泊松方程的定解问题 108

9.4非齐次边界的处理 110

第十章 积分变换法 115

10.1傅里叶变换法 115

10.2拉普拉斯变换法 121

10.3联合变换法 124

第十一章 格林函数法 128

11.1三维无界区域中的格林函数法 128

11.2三维有界区域中的格林函数法 131

11.3求解格林函数的电像法 133

11.4二维有界区域中泊松方程的格林函数法 136

第三篇 特殊函数 140

第十二章 球函数 140

12.1勒让德方程的级数解 140

12.2勒让德多项式的基本性质 143

12.3勒让德多项式的应用举例 149

12.4连带勒让德函数 153

12.5球函数 156

12.6非轴对称情况下拉普拉斯方程的定解问题 158

第十三章 柱函数 162

13.1贝塞尔方程的级数解 162

13.2贝塞尔函数的基本性质 166

13.3贝塞尔方程的本征值问题 170

13.4贝塞尔方程本征值问题的应用举例 172

13.5虚宗量贝塞尔函数 177

13.6球贝塞尔函数 180

第十四章 量子力学中的特殊函数 184

14.1薛定谔方程 184

14.2简谐振子的波函数与厄密函数 186

14.3氢原子的波函数与广义拉盖尔函数 191

参考书目 200