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第九章 向量运算和空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量概念 1

二、向量的线性运算 2

三、向量在轴上的投影 8

第二节 空间直角坐标系及向量的坐标 13

一、空间直角坐标系 13

二、向量的坐标表达式 15

三、向量的模及方向余弦 19

第三节 数量积 向量积 混合积 25

一、两向量的数量积 25

二、两向量的向量积 31

三、向量的混合积 35

第四节 平面及其方程 41

一、平面的点法式方程 41

二、平面的一般方程 44

三、两平面的夹角 48

四、平面图形的投影面积 52

第五节 空间直线及其方程 54

一、直线的点向式及参数式方程 54

二、直线的一般方程 57

三、两直线的夹角 59

四、直线与平面的夹角 61

第六节 曲面及其方程 69

一、曲面方程的概念 69

二、旋转曲面 72

三、柱面 74

四、曲面的参数方程 77

第七节 空间曲线及其方程 81

一、空间曲线的一般方程 81

二、空间曲线的参数方程 83

三、空间曲线在坐标面上的投影 86

第八节 二次曲面 91

一、椭球面 91

二、双曲面 93

三、抛物面 95

第九节 空间中的几个坐标系 99

一、球面坐标系 99

二、柱面坐标系 100

三、广义球面坐标系 101

四、广义柱面坐标系 102

第十节 向量函数 103

一、向量函数的极限和连续性 104

二、向量函数的微分法 105

三、向量函数的积分法 109

第十一节 n维欧氏空间简介 111

第十章 多元函数微分学 115

第一节 多元函数概念 115

一、预备知识 115

二、多元函数概念 127

第二节 多元函数的极限与连续性 133

一、多元函数的极限 134

二、多元函数的连续性 138

第三节 偏导数 141

一、偏导数的定义 141

二、偏导数的几何意义 145

三、高阶偏导数 147

第四节 全微分及其在近似计算中的应用 153

一、全微分的定义 153

二、函数可微与可导的关系 157

三、全微分的向量或矩阵表示法、偏导数向量算子 162

四、全微分在近似计算中的应用 165

第五节 多元复合函数的求导法则 168

一、复合函数微分法——链式法则 168

二、全微分形式不变性 178

三、二元函数的泰勒公式 182

第六节 隐函数的微分法 187

一、由一个方程所确定的隐函数的微分法 187

二、由方程组所确定的隐函数的微分法 191

第七节 曲线坐标 195

一、曲线坐标的概念 195

二、曲线坐标的拉梅系数 197

第八节 数量场的方向导数与梯度 199

一、数量场的方向导数 199

二、数量场的梯度 202

三、数量场梯度的几何意义 204

第九节 多元函数极值及其求法 208

一、极值 208

二、闭区域上连续函数的最大值和最小值 216

三、条件极值 拉格朗日乘数法 218

第十一章 重积分 224

第一节 重积分的概念和性质 224

一、几何与物理中的两个问题 224

二、重积分的定义 228

三、重积分的存在定理 231

四、重积分的性质 231

第二节 二重积分的计算法 235

一、用直角坐标计算二重积分 235

二、用极坐标计算二重积分 247

三、二重积分的换元法 255

第三节 三重积分的计算法 266

一、用直角坐标计算三重积分 266

二、用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 272

三、三重积分的换元法 276

第四节 广义重积分 280

一、无界区域上的广义二重积分 281

二、无界函数的广义二重积分 285

第五节 重积分的应用 290

一、体积计算 290

二、计算曲面面积 292

三、质量、重心和转动惯量 295

第六节 含参变量的积分 303

一、定限含参变量的积分 303

二、变限含参变量的积分 307

第十二章 曲线积分 曲面积分 场论初步 314

第一节 第一类曲线积分 314

一、沿曲线分布的质量与第一类曲线积分 314

二、第一类曲线积分的计算 316

第二节 第二类曲线积分 321

一、力场作功与第二类曲线积分 321

二、第二类曲线积分的性质 324

三、第二类曲线积分的计算 324

第三节 格林公式 331

第四节 平面上曲线积分与路经无关的条件 336

第五节 全微分准则 原函数 345

第六节 第一类曲面积分 349

第七节 第二类曲面积分 354

一、通量与第二类曲面积分 354

二、第二类曲面积分的性质 357

三、第二类曲面积分的计算 358

第八节 散度与高斯公式 362

一、散度的概念 362

二、散度的直角坐标表示 364

三、高斯公式 368

第九节 旋度 斯托克斯公式 372

一、环量 环量面密度 372

二、旋度 374

三、斯托克斯公式 374

四、旋度的计算公式 377

十三章 无穷级数 382

第一节 数项级数的概念和性质 382

一、数项级数的概念 382

二、数项级数的性质 385

三、柯西收敛原理 391

第二节 数项级数的审敛法 394

一、正项级数审敛法 394

二、交错级数及其审敛法 402

三、绝对收敛与条件收敛 404

第三节 广义积分的审敛法、Γ—函数 411

一、广义积分的审敛法 411

二、Γ—函数 416

第四节 幂级数 419

一、函数项级数的一般概念 419

二、函数项级数的一致收敛性 420

三、幂级数及其收敛性 425

四、幂级数的运算 430

第五节 函数展开成幂级数 437

一、泰勒级数 437

二、函数展开成幂级数 440

第六节 函数的幂级数展开式的应用 451

一、近似计算 451

二、欧拉公式 456

第七节 傅立叶（Fourier）级数 459

一、三角函数系的正交性 460

二、傅立叶系数 461

三、傅立叶级数的收敛性 463

第八节 正弦级数和余弦级数 472

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 472

二、函数展开成正弦级数和余弦级数 474

第九节 以2l为周期的函数的傅立叶级数 477

第十四章 微分方程（二） 483

第一节 全微分方程 483

一、全微分方程 483

二、积分因子 486

第二节 可降阶的二阶微分方程 488

一、y"=f（x,y'）型的微分方程 488

二、y"=f（y,y'）型微分方程 491

第三节 二阶线性非齐次微分方程求解的常数变易法 493

第四节 欧拉方程 498

第五节 微分方程的幂级数解法 501

一、一阶微分方程定解（柯西）问题的幂级数解法 501

二、二阶线性微分方程的幂级数解法 503

第六节 常系数线性微分方程组 510

一、常系数线性微分方程组的初步知识 511

二、常系数线性齐次微分方程组解法举例 513

三、常系数线性非齐次方程组的解法举例 516