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第7章 多元函数微分法及其应用 1

7.1 多元函数的极限与连续 1

7.1.1 平面点集 1

7.1.2 多元函数的概念 3

7.1.3 多元函数的极限 5

7.1.4 多元函数的连续性 6

习题7-1 8

7.2 偏导数 9

7.2.1 偏导数的定义及其计算方法 9

7.2.2 偏导数的几何意义 12

7.2.3 高阶偏导数 12

习题7-2 14

7.3 全微分 15

7.3.1 全微分的定义 15

7.3.2 可微分的条件 16

7.3.3 全微分在近似计算中的应用 18

习题7-3 20

7.4 复合函数的微分法 21

7.4.1 复合函数的求导法则 21

7.4.2 复合函数的全微分 25

习题7-4 26

7.5 隐函数的求导公式 28

7.5.1 一个方程的情形 28

7.5.2 方程组的情形 30

习题7-5 33

7.6 多元函数微分学的几何应用 34

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 34

7.6.2 曲面的切平面与法线 37

习题7-6 39

7.7 方向导数与梯度 40

7.7.1 方向导数 40

7.7.2 梯度 42

习题7-7 44

7.8 多元函数的极值及其应用 45

7.8.1 二元函数的极值 45

7.8.2 二元函数的最大值与最小值 47

7.8.3 条件极值拉格朗日乘数法 48

习题7-8 52

7.9 二元函数的泰勒公式 53

习题7-9 55

7.10 最小二乘法 55

习题7-10 57

第8章 多元函数积分学 59

8.1 二重积分 59

8.1.1 二重积分的概念与性质 59

8.1.2 二重积分的计算 61

习题8-1 68

8.2 三重积分 69

8.2.1 三重积分的定义 69

8.2.2 三重积分的计算 70

习题8-2 74

8.3 重积分的应用 75

8.3.1 曲面的面积 75

8.3.2 质心 76

8.3.3 转动惯量 78

习题8-3 79

8.4 曲线积分 79

8.4.1 对弧长的曲线积分 79

8.4.2 对坐标的曲线积分 82

8.4.3 格林公式及其应用 86

习题8-4 90

8.5 曲面积分 91

8.5.1 对面积的曲面积分 91

8.5.2 对坐标的曲面积分 92

8.5.3 高斯公式通量与散度 95

8.5.4 斯托克斯公式环流量与旋度 96

习题8-5 98

第9章 无穷级数 100

9.1 常数项级数的概念和性质 101

9.1.1 常数项级数的概念 101

9.1.2 收敛级数的基本性质 102

9.1.3 柯西收敛原理 104

习题9-1 105

9.2 常数项级数的收敛性判别法 105

9.2.1 正项级数及其收敛性判别法 105

9.2.2 一般级数的收敛性判别法 109

9.2.3 绝对收敛与条件收敛 111

9.2.4 绝对收敛级数的性质 112

习题9-2 112

9.3 幂级数 114

9.3.1 函数项级数的概念 114

9.3.2 幂级数及其收敛性 115

9.3.3 幂级数的运算 118

习题9-3 120

9.4 函数展开成幂级数及其应用 121

9.4.1 函数展开成幂级数 121

9.4.2 近似计算 126

9.4.3 欧拉公式 128

习题9-4 129

9.5 函数项级数的一致收敛性 130

9.5.1 函数项级数的一致收敛性 130

9.5.2 一致收敛级数的基本性质 133

习题9-5 134

9.6 傅里叶级数 134

9.6.1 函数展开成傅里叶级数 135

9.6.2 正弦级数和余弦级数 139

9.6.3 一般周期函数的傅里叶级数 141

9.6.4 傅里叶级数的复数形式 144

习题9-6 145

第10章 常微分方程 148

10.1 常微分方程的基本概念 148

习题10-1 151

10.2 一阶微分方程 152

10.2.1 可分离变量方程 152

10.2.2 齐次方程 153

10.2.3 一阶线性方程 155

10.2.4 全微分方程 158

10.2.5 一阶方程的近似解法 160

习题10-2 163

10.3 可降阶的高阶微分方程 164

10.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 164

10.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程 165

10.3.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程 166

习题10-3 167

10.4 高阶线性方程 167

10.4.1 二阶齐次线性方程的通解结构 168

10.4.2 二阶非齐次线性方程的通解结构 169

10.4.3 n阶线性方程的通解结构 170

习题10-4 171

10.5 常系数线性方程 172

10.5.1 常系数齐次线性方程通解的求法 172

10.5.2 常系数非齐次线性方程通解的求法 175

10.5.3 欧拉方程 179

习题10-5 181

10.6 微分方程的幂级数解法 182

习题10-6 184

10.7 常系数线性微分方程组 185

习题10-7 187

10.8 微分方程应用举例 187

习题10-8 190

参考文献 192