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第1章 函数与极限 1

1.1 映射与函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 4

1.1.3 函数 5

1.1.4 初等函数 12

1.1.5 极坐标简介 15

习题1.1 17

1.2 数列的极限 19

1.2.1 数列极限的定义 19

1.2.2 收敛数列的性质 22

习题1.2 24

1.3 函数的极限 25

1.3.1 函数极限的定义 25

1.3.2 函数极限的性质 29

习题1.3 30

1.4 无穷小与无穷大 31

1.4.1 无穷小及其性质 31

1.4.2 无穷大 33

习题1.4 35

1.5 极限的运算法则 36

1.5.1 极限的四则运算法则 37

1.5.2 复合函数的极限运算法则 40

习题1.5 41

1.6 极限存在的准则两个重要极限 43

1.6.1 夹逼准则 43

1.6.2 单调有界准则 46

习题1.6 50

1.7 无穷小的比较 51

习题1.7 54

1.8 函数的连续性 55

1.8.1 函数连续性的概念 55

1.8.2 函数的间断点 58

1.8.3 连续函数的和、差、积、商的连续性 60

1.8.4 反函数与复合函数的连续性 61

1.8.5 初等函数的连续性 62

习题1.8 64

1.9 闭区间上连续函数的性质 66

1.9.1 有界性与最值定理 66

1.9.2 零点定理与介值定理 67

习题1.9 68

基础练习一 69

提高练习一 71

第2章 导数与微分 74

2.1 导数的概念 74

2.1.1 引例 74

2.1.2 导数的定义 76

2.1.3 基本导数公式 78

2.1.4 导数的几何意义 79

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 80

习题2.1 82

2.2 函数的求导法则 83

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 83

2.2.2 反函数的求导法则 84

2.2.3 复合函数的求导法则 85

习题2.2 88

2.3 高阶导数 89

2.3.1 高阶导数的定义 89

2.3.2 高阶导数的计算方法 90

习题2.3 91

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 92

2.4.1 隐函数的导数 92

2.4.2 对数求导法 93

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 95

习题2.4 96

2.5 函数的微分及其应用 97

2.5.1 微分的定义 98

2.5.2 可微的条件 99

2.5.3 微分的几何意义 99

2.5.4 基本初等函数的微分公式 100

2.5.5 微分法则 100

2.5.6 微分在近似计算中的应用 102

习题2.5 103

基础练习二 104

提高练习二 106

第3章 中值定理与导数的应用 109

3.1 微分中值定理 109

3.1.1 罗尔中值定理 109

3.1.2 拉格朗日中值定理 110

3.1.3 柯西中值定理 113

习题3.1 115

3.2 洛必达法则 116

3.2.1 0/0型不定式 116

3.2.2 ∞/∞型不定式 118

3.2.3 其他不定式 119

习题3.2 120

3.3 泰勒公式 121

习题3.3 124

3.4 函数的单调性、极值、最大值与最小值 124

3.4.1 函数单调性的判别法 124

3.4.2 函数的极值 127

3.4.3 函数的最大值和最小值 130

习题3.4 131

3.5 曲线的凹凸性、拐点及函数作图 132

3.5.1 曲线的凹凸性、拐点 132

3.5.2 曲线的渐近线、函数作图 136

习题3.5 140

基础练习三 141

提高练习三 142

第4章 不定积分 145

4.1 不定积分的概念与性质 145

4.1.1 原函数与不定积分的概念 145

4.1.2 不定积分的基本性质 147

4.1.3 基本积分表 148

习题4.1 150

4.2 换元积分法 151

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 151

4.2.2 第二类换元法 156

习题4.2 161

4.3 分部积分法 163

习题4.3 167

4.4 几类特殊函数的积分法 168

4.4.1 有理函数的积分 168

4.4.2 三角函数有理式的积分 171

习题4.4 172

基础练习四 173

提高练习四 175

第5章 定积分及其应用 178

5.1 定积分的概念 178

5.1.1 实例 178

5.1.2 定积分的定义 180

5.1.3 定积分的几何意义 182

5.1.4 定积分的性质 182

习题5.1 186

5.2 微积分基本公式 187

5.2.1 变上限的定积分（原函数存在定理） 187

5.2.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） 189

习题5.2 191

5.3 定积分的计算方法 192

5.3.1 定积分的换元法 192

5.3.2 定积分的分部积分法 196

习题5.3 198

5.4 广义积分 ＊Г函数 199

5.4.1 无穷区间的广义积分 199

5.4.2 无界函数的广义积分 201

5.4.3 Г函数 204

习题5.4 205

5.5 定积分的微元法 206

5.6 定积分在几何学上的应用 208

5.6.1 平面图形的面积 208

5.6.2 体积 212

5.6.3 平面曲线的孤长 216

习题5.6 218

基础练习五 219

提高练习五 221

附录Ⅰ 希腊字母及常用数学公式 224

附录Ⅱ 几种常用的曲线方程及图形 228

附录Ⅲ 积分表 230

习题参考答案 239