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第一篇 高等数学 1

第一章 极限、连续与求极限的方法 1

知识结构网络图 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 2

一、极限的概念与性质 2

二、极限存在性的判别 4

三、求极限的方法 6

四、无穷小及其比较 14

五、函数的连续性及其判断 17

六、连续函数的性质 19

常考题型及其解题方法与技巧 20

题型训练 32

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算 36

知识结构网络图 36

内容概要与重难点提示 36

考核知识要点讲解 37

一、一元函数的导数与微分 37

二、按定义求导数及其适用的情形 41

三、基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则 42

四、初等函数的求导法 43

五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法 44

六、分段函数的求导法 47

七、高阶导数及n阶导数的求法 49

八、一元函数微分学的简单应用 51

常考题型及其解题方法与技巧 53

题型训练 62

第三章 一元函数积分概念、计算及应用 65

知识结构网络图 65

内容概要与重难点提示 66

考核知识要点讲解 66

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 66

二、基本积分表与积分法则 73

三、几种特殊类型函数的积分法 83

四、积分计算技巧 87

五、反常积分（广义积分） 88

六、积分学应用的基本方法——微元分析法 91

七、一元函数积分学的几何应用 92

八、一元函数积分学的物理应用 98

常考题型及其解题方法与技巧 101

题型训练 125

第四章 微分中值定理及其应用 129

知识结构网络图 129

内容概要与重难点提示 129

考核知识要点讲解 130

一、微分中值定理及其作用 130

二、利用导数研究函数的性态 131

三、一元函数的最大值与最小值问题 137

常考题型及其解题方法与技巧 139

题型训练 161

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用 164

知识结构网络图 164

内容概要与重难点提示 164

考核知识要点讲解 164

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 164

二、泰勒公式的求法 166

三、泰勒公式的若干应用 167

常考题型及其解题方法与技巧 171

题型训练 175

第六章 常微分方程 177

知识结构网络图 177

内容概要与重难点提示 177

考核知识要点讲解 178

一、基本概念 178

二、一阶微分方程 179

三、可降阶的高阶方程 181

四、含变限积分的方程 182

五、线性微分方程解的性质与结构 183

六、二阶和某些高阶常系数齐次线性微分方程 184

七、二阶常系数非齐次线性微分方程与欧拉方程 185

八、微分方程的简单应用 186

常考题型及其解题方法与技巧 190

题型训练 198

第七章 向量代数和空间解析几何 200

知识结构网络图 200

内容概要与重难点提示 200

考核知识要点讲解 201

一、空间直角坐标系 201

二、向量的概念 201

三、向量的运算 202

四、平面方程、直线方程 205

五、平面、直线之间相互关系与距离公式 207

六、旋转面与柱面方程，常用二次曲面的方程及其图形 209

七、空间曲线在坐标平面上的投影 210

常考题型及其解题方法与技巧 210

题型训练 217

第八章 多元函数微分学 219

知识结构网络图 219

内容概要与重难点提示 219

考核知识要点讲解 220

一、多元函数的概念、极限与连续性 220

二、多元函数的偏导数与全微分 222

三、多元函数的微分法则 226

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法 229

五、复合函数求导法则的其他应用 232

六、多元函数的极值问题 233

七、多元函数的最大值与最小值问题 235

八、方向导数与梯度 237

九、多元函数微分学的几何应用 238

常考题型及其解题方法与技巧 241

题型训练 251

第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用 255

知识结构网络图 255

内容概要与重难点提示 255

考核知识要点讲解 256

一、多元函数积分的概念与性质 256

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 260

三、重积分的变量替换 266

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算 271

五、多元函数积分学的几何应用 281

六、多元函数积分学的物理应用 284

常考题型及其解题方法与技巧 286

题型训练 311

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 314

知识结构网络图 314

内容概要与重难点提示 314

考核知识要点讲解 315

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 315

二、向量场的通量与散度，环流量与旋度 317

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 318

四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 324

常考题型及其解题方法与技巧 329

题型训练 338

第十一章 无穷级数 340

知识结构网络图 340

内容概要与重难点提示 340

考核知识要点讲解 341

一、常数项级数 341

二、幂级数 346

三、傅里叶级数 351

常考题型及其解题方法与技巧 353

题型训练 371

第二篇 线性代数 377

第一章 行列式 377

知识结构网络图 377

内容概要与重难点提示 377

考核知识要点讲解 377

一、定义（完全展开式） 378

二、行列式的性质 378

三、克拉默法则 379

常考题型及其解题方法与技巧 379

题型训练 392

第二章 矩阵 394

知识结构网络图 394

内容概要与重难点提示 394

考核知识要点讲解 395

一、矩阵乘法的定义和规律 395

二、n阶矩阵的方幂和多项式 396

三、乘积矩阵的列向量组和行向量组 396

四、两类特殊矩阵的乘法 397

五、矩阵乘法的分块法则 397

六、两种基本矩阵方程 397

七、可逆矩阵 398

八、伴随矩阵 399

常考题型及其解题方法与技巧 399

题型训练 416

第三章 向量组的线性关系与秩 419

知识结构网络图 419

内容概要与重难点提示 420

考核知识要点讲解 420

一、线性表示 420

二、向量组的线性相关性 421

三、向量组的秩和最大无关组 422

四、矩阵的秩 424

五、实向量的内积和正交矩阵 424

六、向量空间 425

常考题型及其解题方法与技巧 426

题型训练 445

第四章 线性方程组 448

知识结构网络图 448

内容概要与重难点提示 448

考核知识要点讲解 449

一、线性方程组的形式 449

二、线性方程组解的情况的判别 449

三、线性方程组的通解 449

常考题型及其解题方法与技巧 450

题型训练 474

第五章 特征向量与特征值，相似，对角化 477

知识结构网络图 477

内容概要与重难点提示 478

考核知识要点讲解 478

一、特征向量和特征值 478

二、n阶矩阵的相似关系 479

三、相似对角化问题 480

四、实对称矩阵的相似对角化 480

常考题型及其解题方法与技巧 481

题型训练 504

第六章 二次型 507

知识结构网络图 507

内容概要与重难点提示 507

考核知识要点讲解 508

一、二次型及其矩阵 508

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 508

三、二次型的标准化 509

四、惯性定理和惯性指数，实对称矩阵合同的判断 511

五、正定二次型和正定矩阵 511

常考题型及其解题方法与技巧 511

题型训练 524

第三篇 概率论与数理统计 526

第一章 随机事件和概率 526

知识结构网络图 526

内容概要与重难点提示 526

考核知识要点讲解 527

一、随机事件的关系与运算 527

二、随机事件的概率 529

三、事件的独立性与独立重复试验 533

常考题型及其解题方法与技巧 535

题型训练 542

第二章 随机变量及其分布 544

知识结构网络图 544

内容概要与重难点提示 544

考核知识要点讲解 545

一、随机变量及其分布函数 545

二、离散型随机变量与连续型随机变量 546

三、常见的离散型、连续型随机变量及其概率分布 549

四、随机变量函数的分布 553

常考题型及其解题方法与技巧 556

题型训练 565

第三章 多维随机变量及其分布 568

知识结构网络图 568

内容概要与重难点提示 568

考核知识要点讲解 569

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 569

二、二维离散型随机变量 570

三、二维连续型随机变量 572

四、二维随机变量的独立性 575

五、两个常见的二维连续型随机变量的分布 576

六、两个随机变量函数的分布 578

常考题型及其解题方法与技巧 584

题型训练 593

第四章 随机变量的数字特征 596

知识结构网络图 596

内容概要与重难点提示 596

考核知识要点讲解 596

一、随机变量的数学期望和方差 596

二、协方差与相关系数 600

三、随机变量的矩 602

常考题型及其解题方法与技巧 603

题型训练 603

第五章 大数定律和中心极限定理 616

知识结构网络图 616

内容概要与重难点提示 616

考核知识要点讲解 616

一、大数定律 616

二、中心极限定理 618

常考题型及其解题方法与技巧 618

题型训练 622

第六章 数理统计的基本概念 624

知识结构网络图 624

内容概要与重难点提示 624

考核知识要点讲解 624

一、总体与样本 624

二、统计量 626

三、抽样分布 626

常考题型及其解题方法与技巧 630

题型训练 634

第七章 参数估计和假设检验 636

知识结构网络图 636

内容概要与重难点提示 636

考核知识要点讲解 637

一、参数估计 637

二、假设检验 641

常考题型及其解题方法与技巧 643

题型训练 648