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第一章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量的概念及向量的表示 1

一、向量的基本概念 1

二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式 5

习题1-1 10

第二节 向量的数量积、向量积及混合积 11

一、向量的数量积 11

二、向量的向量积 15

三、向量的混合积 20

习题1-2 22

第三节 平面及其方程 23

一、平面及其方程 23

二、两平面间的夹角 26

三、点到平面的距离 28

习题1-3 29

第四节 空间直线及其方程 29

一、空间直线的方程 29

二、直线与直线及直线与平面的夹角 32

三、平面束方程及点到直线的距离 34

习题1-4 35

第五节 曲面、空间曲线及其方程 36

一、曲面及其方程 36

二、空间曲线及其方程 41

习题1-5 44

第六节 二次曲面的标准方程 45

习题1-6 49

综合题一 50

第二章 多元函数微分学 54

第一节 多元函数的概念 54

一、二元函数的概念 54

二、平面区域 55

三、多元函数的概念 59

习题2-1 60

第二节 多元函数的极限与连续 61

一、多元函数的极限 61

二、多元函数的连续性 64

三、有界闭区域上连续函数的性质 65

四、二次极限 66

习题2-2 68

第三节 偏导数 69

一、偏导数的定义 69

二、二元函数偏导数的几何意义 72

三、偏导数与连续的关系 73

习题2-3 74

第四节 全微分 75

习题2-4 80

第五节 多元复合函数的求导法则 80

一、链式法则 81

二、全微分的形式不变性 86

三、微分中值定理 87

习题2-5 89

第六节 隐函数的导数 89

一、一个方程的情形 90

二、方程组的情形 94

习题2-6 98

第七节 高阶偏导数，高阶全微分及泰勒公式 98

一、高阶偏导数 98

二、高阶全微分 104

三、多元函数的泰勒公式 106

习题2-7 109

第八节 方向导数与梯度 110

一、方向导数 110

二、方向导数的计算 112

三、梯度 115

习题2-8 116

综合题二 116

第三章 多元函数微分学的应用 121

第一节 空间曲线的切线和法平面方程 121

习题3-1 125

第二节 曲面的切平面和法线方程 125

一、曲面的切平面和法线方程 125

二、二元函数全微分的几何意义 129

三、全微分在近似计算中的应用 130

习题3-2 131

第三节 无约束极值与有约束极值 132

一、无约束极值 132

二、函数的最大值和最小值 135

三、有约束极值 138

习题3-3 143

综合题三 144

第四章 多元函数积分学 147

第一节 二重积分 147

一、一类数学模型 147

二、二重积分的概念与性质 149

三、二重积分的计算 152

习题4-1 164

第二节 三重积分 166

一、三重积分的概念与性质 166

二、三重积分的计算 168

习题4-2 179

第三节 反常二重积分 180

一、无界区域上的二重积分 180

二、二重瑕积分 183

习题4-3 184

第四节 对弧长的曲线积分 185

一、对弧长的曲线积分的概念 185

二、对弧长的曲线积分的计算 187

三、对弧长的曲线积分的几何意义 191

习题4-4 192

第五节 对坐标的曲线积分 192

一、对坐标的曲线积分的概念 193

二、对坐标的曲线积分的计算 198

三、两类曲线积分之间的联系 203

习题4-5 204

第六节 格林公式 205

一、格林公式 205

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 210

三、原函数与全微分方程 215

习题4-6 219

第七节 对面积的曲面积分 220

一、对面积的曲面积分的概念 220

二、对面积的曲面积分的计算 221

习题4-7 227

第八节 对坐标的曲面积分 227

一、双侧曲面及其投影 227

二、对坐标的曲面积分的概念 229

三、对坐标的曲面积分的计算 231

四、两类曲面积分之间的联系 235

习题4-8 237

第九节 高斯公式与斯托克斯公式 238

一、高斯公式 238

二、通量与散度 241

三、斯托克斯公式 243

四、环流量与旋度 248

习题4-9 249

综合题四 250

第五章 多元函数积分学的应用 256

第一节 建立积分数学模型的微元法 256

第二节 多元函数积分学在几何中的应用 257

习题5-2 263

第三节 多元函数积分学在物理中的应用 264

一、物体的质量 264

二、质心和形心 267

三、转动惯量 271

四、引力 275

习题5-3 278

综合题五 279

第六章 含参变量的积分 282

第一节 含参变量的定积分 282

习题6-1 288

第二节 含参变量的无穷积分 289

一、含参变量的无穷积分的敛散性 289

二、含参变量的无穷积分的性质 292

习题6-2 297

第三节 Γ函数与B函数 298

一、Γ函数 298

二、B函数 300

习题6-3 303

第四节 含参变量积分应用举例 303

习题6-4 309

综合题六 309

第七章 无穷级数 311

第一节 常数项级数的概念和性质 311

一、无穷级数的概念 311

二、级数收敛的必要条件 314

三、级数的基本性质 315

习题7-1 317

第二节 常数项级数敛散性判别法 318

一、正项级数敛散性判别法 318

二、交错级数及其敛散性判别法 324

三、任意项级数及其敛散性判别法 326

习题7-2 328

第三节 函数项级数 329

一、一般函数项级数 329

二、幂级数 331

习题7-3 340

第四节 函数展开为幂级数 341

一、函数展开为幂级数 341

二、函数幂级数展开式的应用举例 348

三、微分方程的幂级数解法 351

习题7-4 356

第五节 函数展开为傅里叶级数 357

一、周期函数的傅里叶级数 357

二、非周期函数的傅里叶级数 366

习题7-5 371

综合题七 372