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第一章 函数与极限 1

第一节 函数的概念 1

一、一元函数 1

二、复合函数 4

三、初等函数 5

四、函数的几种特性应用举例 6

习题1—1 9

第二节 数列的极限 10

一、数列的概念 11

二、数列的极限 13

三、数列极限的性质 15

四、数列收敛准则 18

习题1—2 21

第三节 函数的极限 21

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 22

二、自变量趋于有限值时函数的极限 24

三、函数的单侧极限 26

四、函数极限的基本性质 28

习题1—3 30

第四节 函数极限的运算法则 31

一、函数极限的四则运算法则 31

二、复合函数的极限运算法则 34

习题1—4 37

第五节 无穷小量 38

一、无穷小的概念与性质 38

二、无穷小的比较 40

习题1—5 43

第六节 函数的连续性 44

一、连续函数的概念 44

二、连续函数的性质 46

三、函数的间断点及其分类 49

四、闭区间上连续函数的性质 51

习题1—6 54

综合练习题 55

第二章 导数与微分 57

第一节 导数概念 57

一、引例 57

二、导数的定义 59

三、导数的几何意义 63

四、函数的可导性与连续性的关系 65

习题2—1 66

第二节 求导法则 67

一、函数和、差、积、商的求导法则 68

二、反函数的求导法则 70

三、复合函数的求导法则 71

四、基本初等函数的导数公式与求导法则 75

习题2—2 77

第三节 高阶导数 78

习题2—3 81

第四节 隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数 82

一、隐函数的导数 82

二、由参数方程所确定的函数的导数 86

三、相关变化率 89

习题2—4 91

第五节 微分 92

一、微分的概念 92

二、微分的几何意义 94

三、微分的运算法则 95

四、微分在近似计算中的应用 96

习题2—5 97

综合练习题二 98

第三章 微分中值定理与导数的应用 100

第一节 微分中值定理 100

一、函数的极值及其必要条件 100

二、微分中值定理 101

习题3—1 107

第二节 泰勒（Taylor）公式 108

习题3—2 114

第三节 洛必达（L′Hospital）法则 115

一、0/0型未定式 115

二、∞/∞型未定式 117

三、其他类型的未定式 118

习题3—3 120

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 121

一、函数单调性的判别法 121

二、曲线的凹凸性及拐点 124

习题3—4 128

第五节 函数的极值与最大值、最小值 128

一、函数的极值 128

二、函数的最大值与最小值 132

习题3—5 135

第六节 曲线的渐近线及函数作图 136

一、曲线的渐近线 136

二、函数的作图 138

习题3—6 141

第七节 曲率 141

一、弧微分 141

二、曲率及其计算公式 142

三、曲率半径与曲率圆 145

习题3—7 146

综合练习题三 147

第四章 不定积分 150

第一节 不定积分的概念与性质 150

一、不定积分的概念与基本积分公式 150

二、不定积分的基本性质 155

习题4—1 158

第二节 换元积分法 159

一、第一类换元积分法 159

二、第二类换元积分法 165

三、简单有理函数的积分举例 170

习题4—2 174

第三节 分部积分法 175

习题4—3 181

综合练习题四 182

第五章 定积分及其应用 184

第一节 定积分的概念与性质 184

一、定积分的概念 184

二、定积分存在的条件 189

三、定积分的性质 190

习题5—1 193

第二节 微积分基本定理 193

习题5—2 197

第三节 定积分的积分法 198

一、定积分换元积分法 199

二、定积分分部积分法 202

三、变限积分 204

四、数值积分法 208

习题5—3 211

第四节 定积分的微元法 213

第五节 定积分在几何中的应用 215

一、平面图形的面积 216

二、立体图形的体积 220

三、平面曲线的弧长 225

习题5—5 229

第六节 定积分在物理中的应用 230

一、位移 230

二、质量 231

三、力 232

四、功 233

习题5—6 234

第七节 广义积分 235

一、无穷区间上的广义积分 235

二、无界函数的广义积分 240

习题5—7 243

第八节 Γ函数 244

一、Γ函数 244

二、B函数 246

习题5—8 247

综合练习题五 247

第六章 微分方程 249

第一节 微分方程的基本概念 249

习题6—1 252

第二节 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 253

一、可分离变量的微分方程 253

二、齐次方程 256

习题6—2 260

第三节 一阶线性微分方程 261

一、线性方程 261

二、伯努利（Bernoulli）方程 266

习题6—3 268

第四节 可降阶的高阶微分方程 269

一、y(n)=f(x)型的微分方程 269

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 271

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 272

习题6—4 274

第五节 高阶线性微分方程通解的结构 275

习题6—5 279

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 279

习题6—6 283

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 284

一、f(x)=erxPm(x)型 284

二、f(x)=erx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 288

三、公式法 292

习题6—7 294

第八节 微分方程模型 294

综合练习题六 308

习题答案与提示 310

附录 333

附录1 积分表 333

附录2 定积分微元法编写注记 342

参考文献 348