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第五章 偏导数与全微分 1

5.1 多元函数的极限与连续性 1

5.1.1 预备知识 1

5.1.2 多元函数的极限 5

5.1.3 多元函数的连续性 8

习题5.1 9

5.2 偏导数与全微分 11

5.2.1 偏导数 11

5.2.2 全微分 12

习题5.2 （1） 16

5.2.3 复合函数的偏导数 17

5.2.4 隐函数的偏导数 20

习题5.2 （2） 23

5.2.5 高阶偏导数 24

5.2.6 高阶微分 27

习题5.2 （3） 28

5.2.7 方向导数 29

习题5.2 （4） 31

5.3 偏导数在几何上的应用 31

5.3.1 空间曲线的切线与法平面 31

5.3.2 空间曲面的切平面与法线 33

习题5.3 37

5.4 极值与条件极值 37

5.4.1 二元函数的泰勒公式 37

5.4.2 极值的定义与必要条件 39

5.4.3 极值的充分条件 40

5.4.4 最大值与最小值 42

5.4.5 条件极值（拉格朗日乘数法） 44

习题5.4 48

复习题五 49

第六章 二重积分与三重积分 50

6.1 二重积分 50

6.1.1 二重积分的定义 50

6.1.2 二重积分的性质 51

6.1.3 二重积分的计算（累次积分法） 53

习题6.1 （1） 57

6.1.4 二重积分的计算（换元积分法） 58

习题6.1 （2） 64

6.2 三重积分 65

6.2.1 三重积分的定义与性质 65

6.2.2 三重积分的计算（累次积分法） 67

习题6.2 （1） 71

6.2.3 三重积分的计算（换元积分法） 72

习题6.2 （2） 77

6.3 重积分的应用 78

6.3.1 重积分在几何上的应用 78

6.3.2 重积分在物理上的应用 83

习题6.3 87

6.4 广义重积分简介 88

6.4.1 两类广义二重积分的定义 88

6.4.2 广义二重积分敛散性判别法 89

习题6.4 90

复习题六 91

第七章 曲线积分与曲面积分 93

7.1 曲线积分 93

7.1.1 空间曲线的弧长 93

7.1.2 对弧长的曲线积分 94

7.1.3 对坐标的曲线积分 97

习题7.1 102

7.2 曲面积分 104

7.2.1 对面积的曲面积分 104

7.2.2 双侧曲面 108

7.2.3 对坐标的曲面积分 110

习题7.2 114

7.3 三大积分定理 116

7.3.1 格林定理 116

7.3.2 斯托克斯定理 120

7.3.3 高斯定理 125

习题7.3 129

7.4 场论初步 131

7.4.1 向量场与数量场 131

7.4.2 哈密顿算子 131

7.4.3 直角坐标系下的梯度、散度与旋度 133

7.4.4 无源场与无旋场 138

习题7.4 140

复习题七 141

第八章 级数·广义积分收敛性 143

8.1 数项级数 143

8.1.1 数项级数基本概念 143

8.1.2 正项级数 145

8.1.3 任意项级数 149

习题8.1 157

8.2 函数项级数 159

8.2.1 函数项级数基本概念 159

8.2.2 函数项级数一致收敛性 160

习题8.2 163

8.3 幂级数 164

8.3.1 幂级数基本概念 164

8.3.2 幂级数的和函数 170

8.3.3 初等函数的幂级数展式 172

8.3.4 幂级数的应用 175

习题8.3 178

8.4 傅里叶级数 179

8.4.1 傅氏系数与傅氏级数 179

8.4.2 傅氏级数的和函数 181

8.4.3 区间[一l，l]上的傅氏级数 183

8.4.4 均方差与贝塞尔不等式 184

习题8.4 185

8.5 广义积分的收敛性 185

8.5.1 广义积分敛散性判别法 185

习题8.5 （1） 190

8.5.2 含参定积分的性质与含参广义积分的一致收敛性 191

习题8.5 （2） 198

8.5.3 B函数 198

8.5.4 斯特林公式 201

习题8.5 （3） 201

复习题八 202

第九章 常微分方程 203

9.1 微分方程基本概念 203

9.1.1 微分方程的定义与分类 203

9.1.2 微分方程的通解与特解 205

9.1.3 微分方程的初值问题 205

习题9.1 206

9.2 一阶微分方程 206

9.2.1 可分离变量的方程 206

9.2.2 齐次方程 207

9.2.3 一阶线性方程 208

习题9.2 （1） 209

9.2.4 全微分方程 210

9.2.5 可用变量代换法求解的一阶微分方程 213

习题9.2 （2） 215

9.2.6 解的存在性与唯一性 215

习题9.2 （3） 219

9.3 高阶微分方程 220

9.3.1 可降阶的二阶微分方程 220

9.3.2 高阶线性方程的基本理论 222

9.3.3 高阶常系数线性方程 226

9.3.4 特殊的高阶变系数线性方程 234

习题9.3 236

9.4 微分方程的应用 237

9.4.1 一阶微分方程的应用 237

9.4.2 二阶微分方程的应用 239

习题9.4 241

复习题九 242

习题答案与提示（复习题简解） 243