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第7章 空间解析几何与向量代数 1

7.1 向量及其线性运算 1

7.1.1 向量的概念 1

7.1.2 向量的线性运算 2

7.1.3 空间直角坐标系 3

7.1.4 向量的坐标表示 5

7.1.5 利用坐标做向量的线性运算 6

7.1.6 向量的模与方向余弦 6

7.1.7 向量在轴上的投影 9

习题7.1 9

7.2 数量积 向量积 10

7.2.1 两向量的数量积 10

7.2.2 两向量的向量积 12

习题7.2 15

7.3 曲面及其方程 15

7.3.1 曲面方程的概念 15

7.3.2 旋转曲面 17

7.3.3 柱面 19

7.3.4 二次曲面 20

习题7.3 21

7.4 空间曲线及其方程 22

7.4.1 空间曲线的一般方程 22

7.4.2 空间曲线的参数方程 24

7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 25

习题7.4 27

7.5 平面及其方程 27

7.5.1 平面的点法式方程 27

7.5.2 平面的一般方程 28

7.5.3 两平面的夹角 30

习题7.5 32

7.6 空间直线及其方程 33

7.6.1 空间直线的一般方程 33

7.6.2 平面束 33

7.6.3 空间直线的对称式方程与参数方程 34

7.6.4 两直线的夹角 36

7.6.5 直线与平面的夹角 37

习题7.6 38

复习题7 39

数学家简介——笛卡尔 39

第8章 多元函数微分法及其应用 41

8.1 多元函数的基本概念 41

8.1.1 平面点集 41

8.1.2 多元函数的概念 43

8.1.3 多元函数的极限 44

8.1.4 多元函数的连续性 45

习题8.1 46

8.2 偏导数 47

8.2.1 偏导数的定义及其计算方法 47

8.2.2 高阶偏导数 51

习题8.2 52

8.3 全微分 52

8.3.1 全微分的定义 52

8.3.2 全微分在近似计算中的应用 54

习题8.3 55

8.4 多元复合函数的求导法则 55

8.4.1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 56

8.4.2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 56

8.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形 57

8.4.4 全微分形式不变性 59

习题8.4 60

8.5 隐函数的求导公式 61

习题8.5 65

8.6 多元函数微分学的几何应用 66

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 66

8.6.2 曲面的切平面与法线 69

习题8.6 71

8.7 方向导数与梯度 71

8.7.1 方向导数 72

8.7.2 梯度 75

习题8.7 77

8.8 多元函数的极值及其求法 77

8.8.1 多元函数的极值 77

8.8.2 多元函数的最大值与最小值 79

8.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法 81

习题8.8 84

复习题8 84

数学家简介——罗尔 86

第9章 重积分 88

9.1 二重积分 88

9.1.1 二重积分的概念 88

9.1.2 二重积分的性质 92

习题9.1 94

9.2 二重积分的计算 95

9.2.1 直角坐标系下计算二重积分 95

9.2.2 极坐标系下计算二重积分 102

习题9.2 106

9.3 三重积分 107

9.3.1 三重积分的概念 107

9.3.2 三重积分的计算 109

习题9.3 116

9.4 重积分的应用 117

9.4.1 求立体的体积 117

9.4.2 曲面的面积 118

9.4.3 求物体的质量 120

9.4.4 质心 121

9.4.5 转动惯量 122

习题9.4 123

复习题9 124

数学家简介——格林 125

第10章 曲线积分与曲面积分 127

10.1 对弧长的曲线积分 127

10.1.1 引例——金属曲线的质量问题 127

10.1.2 对弧长的曲线积分的概念与性质 128

10.1.3 对弧长的曲线积分的计算 129

习题10.1 131

10.2 对坐标的曲线积分 132

10.2.1 引例——变力沿曲线所做的功 132

10.2.2 对坐标的曲线积分的概念与性质 133

10.2.3 对坐标的曲线积分的计算 135

习题10.2 138

10.3 格林公式及其应用 138

10.3.1 格林公式 138

10.3.2 平面上曲线积分与路径的无关性 143

习题10.3 146

10.4 对面积的曲面积分 147

10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 147

10.4.2 对面积的曲面积分的计算 147

习题10.4 149

10.5 对坐标的曲面积分 150

10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 150

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算 153

习题10.5 155

10.6 高斯公式与斯托克斯公式 155

10.6.1 高斯公式 155

10.6.2 斯托克斯公式 157

习题10.6 159

复习题10 159

数学家简介——高斯 161

第11章 无穷级数 164

11.1 常数项级数的概念与基本性质 164

11.1.1 常数项级数的概念 164

11.1.2 收敛级数的性质 166

习题11.1 169

11.2 正项级数及其审敛法 169

11.2.1 正项级数收敛的充要条件 170

11.2.2 比较审敛法 170

11.2.3 比值审敛法 172

习题11.2 174

11.3 交错级数和任意项级数 175

11.3.1 交错级数及其审敛法 175

11.3.2 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 177

习题11.3 180

11.4 幂级数 180

11.4.1 函数项级数的概念 180

11.4.2 幂级数及其收敛域 181

11.4.3 幂级数的性质及运算 184

习题11.4 187

11.5 函数展开成幂级数 187

11.5.1 泰勒级数 187

11.5.2 直接展开与间接展开 189

习题11.5 192

11.6 傅里叶级数 193

11.6.1 三角函数系与三角级数 193

11.6.2 函数展开成傅里叶级数 194

11.6.3 正弦级数和余弦级数 196

11.6.4 一般周期函数的傅里叶级数 198

习题11.6 199

复习题11 200

数学家简介——阿贝尔 201

附录 习题和复习题参考答案 204

参考文献 221