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第六章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数 1

一、多元函数概念 1

二、二元函数的极限 4

三、二元函数的连续性 5

习题6.1 6

第二节 偏导数 7

一、偏导数的定义 7

二、偏导数的计算 9

三、高阶偏导数 10

习题6.2 12

第三节 全微分 12

一、全微分的定义 12

二、可微分的条件 13

习题6.3 16

第四节 多元复合函数的求导法则 16

习题6.4 21

第五节 隐函数的求导公式 22

一、一个方程的情形 22

二、方程组的情形 23

习题6.5 25

第六节 偏导数的应用 26

一、偏导数在几何上的应用 26

二、多元函数的极值及其求法 31

习题6.6 36

第七节 方向导数与梯度 36

一、方向导数 36

二、梯度 38

习题6.7 40

总习题六 41

第七章 重积分 42

第一节 二重积分的概念与性质 42

一、二重积分的概念 42

二、二重积分的性质 44

习题7.1 45

第二节 二重积分的计算 46

一、利用直角坐标系计算二重积分 46

二、利用极坐标计算二重积分 50

习题7.2 54

第三节 三重积分的概念及其计算 56

习题7.3 58

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 59

一、利用柱面坐标计算三重积分 59

二、利用球面坐标计算三重积分 61

习题7.4 63

第五节 重积分的应用 64

一、二重积分的应用 64

二、三重积分的应用 70

习题7.5 75

总习题七 76

第八章 曲线积分与曲面积分 78

第一节 对弧长的曲线积分 78

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 78

二、对弧长的曲线积分的计算法 79

习题8.1 81

第二节 对坐标的曲线积分 82

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 82

二、对坐标的曲线积分的计算法 85

三、两类曲线积分之间的联系 88

习题8.2 90

第三节 格林公式 91

一、格林公式 91

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 94

三、二元函数的全微分求积 96

习题8.3 99

第四节 对面积的曲面积分 101

一、对面积的曲面积分的概念与性质 101

二、对面积的曲面积分的计算法 102

习题8.4 105

第五节 对坐标的曲面积分 105

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 105

二、对坐标的曲面积分的计算法 108

三、两类曲面积分之间的联系 111

习题8.5 113

第六节 高斯公式 114

习题8.6 117

第七节 向量场的散度与旋度 118

一、通量与散度 118

二、斯托克斯公式 121

三、环流量与旋度 123

习题8.7 125

总习题八 126

第九章 无穷级数 129

第一节 常数项级数的概念与性质 129

一、常数项级数的概念 129

二、无穷级数的基本性质 131

三、级数收敛的必要条件 133

习题9.1 134

第二节 常数项级数的审敛法 135

一、正项级数及其审敛法 135

二、交错级数及其审敛法 143

三、任意项级数的敛散性（绝对收敛与条件收敛） 144

习题9.2 146

第三节 幂级数 147

一、函数项级数的一般概念 147

二、幂级数及其敛散性 148

三、幂级数的运算 153

习题9.3 156

第四节 函数展开成幂级数 157

一、泰勒级数 157

二、函数展开成幂级数 159

三、函数的幂级数展开式的应用 166

习题9.4 170

第五节 傅里叶级数 170

一、三角级数及三角函数系的正交性 170

二、函数展开成傅里叶级数 172

三、正弦级数和余弦级数 180

四、傅里叶级数的复数形式 182

习题9.5 184

总习题九 185

第十章 微分方程 188

第一节 微分方程的基本概念 188

习题10.1 191

第二节 可分离变量的微分方程、齐次方程 192

一、可分离变量的微分方程 192

二、齐次方程 194

习题10.2 197

第三节 一阶线性微分方程、伯努利方程 198

一、一阶线性微分方程 198

二、伯努利方程 200

习题10.3 203

第四节 全微分方程 204

习题10.4 206

第五节 可降阶的高阶微分方程 206

一、y(n)=f（x）型的微分方程 207

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 207

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 209

习题10.5 209

第六节 线性微分方程的解的结构 210

一、线性微分方程的基本概念 210

二、线性微分方程的解的结构 211

习题10.6 213

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 214

习题10.7 218

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 219

一、f(x)=Pm(x)eλx型 219

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 222

习题10.8 225

第九节 欧拉方程 226

习题10.9 227

第十节 微分方程的应用 227

习题10.10 230

总习题十 231

参考文献 233