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第5章 常微分方程 1

Ⅰ 基本内容 1

5.1微分方程的基本知识 1

5.2一阶微分方程 1

5.3典型的一阶微分方程的解法 1

5.4可转化为典型的一阶微分方程 5

5.5可降阶的微分方程的解法 6

5.6二阶线性微分方程的解 8

5.7高阶线性微分方程的解 11

5.8高阶常系数线性微分方程的解 13

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序 14

｛范例5-1｝简单的一阶微分方程的通解和特解 14

｛范例5-2｝分离变量法的应用和约化曲线的画法 17

｛范例5-3｝同次方程的通解 20

｛范例5-4｝正比分式一阶微分方程的通解 22

｛范例5-5｝线性分式一阶微分方程的通解 25

｛范例5-6｝一阶线性微分方程的通解 29

｛范例5-7｝伯努利方程的通解 32

｛范例5-8｝ y（n）=f（x）型方程的通解 34

｛范例5-9｝ y＂= f（ y＇）型方程的通解 37

｛范例5-10｝y＂=f（x， y＇）型方程的通解 38

｛范例5-11｝y＂=f（y，y＇）型方程的通解 39

｛范例5-12｝y＂=f（y）型方程的通解 41

｛范例5-13｝可降阶的微分方程的通解 43

｛范例5-14｝可降阶的微分方程的特解 47

｛范例5-15｝积分方程的解 50

｛范例5-16｝常系数齐次微分方程的解 54

｛范例5-17｝常系数非齐次微分方程的解 57

｛范例5-18｝欧拉方程的解 59

｛范例5-19｝二元微分方程组的解 62

｛范例5-20｝三元微分方程组的解 67

Ⅲ练习题 71

第6章向量代数与空间解析几何 74

Ⅰ基本内容 74

6.1向量的概念和线性运算 74

6.2空间直角坐标系和向量的线性运算 76

6.3任意向量的乘积 78

6.4空间平面及其方程 81

6.5空间直线和方程 83

6.6距离和交点 85

6.7平面与直线的关系 89

6.8曲面方程 91

6.9空间曲线和方程 93

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序 94

｛范例6-1｝空间坐标系和立方体的坐标 94

｛范例6-2｝向量的坐标表示方法 95

｛范例6-3｝向量的加减法 98

｛范例6-4｝向量的投影、点积和叉积 99

｛范例6-5｝用向量证明几何定理（图形动画） 102

｛范例6-6｝平行六面体的体积和四面体的体积 104

｛范例6-7｝各种平面方程 106

｛范例6-8｝点到平面的距离和平行平面之间的距离 111

｛范例6-9｝直线方程和点到直线的距离 112

｛范例6-10｝平面间的夹角 117

｛范例6-11｝直线间的距离和夹角 118

｛范例6-12｝直线与平面的交点和夹角以及投影方程 122

｛范例6-13｝二次柱面 124

｛范例6-14｝球面和椭球面（图形动画） 126

｛范例6-15｝椭圆抛物面和双曲抛物面以及直纹双曲面 130

｛范例6-16｝双叶双曲面和单叶双曲面（图形动画） 133

｛范例6-17｝椭圆锥面和空间圆锥曲线 136

｛范例6-18｝圆柱螺旋线和圆锥螺旋线以及投影（曲线动画） 139

｛范例6-19｝平面和球面与柱面的交线和投影 142

｛范例6-20｝旋转双曲面（图形动画） 144

Ⅲ练习题 146

第7章 多元函数的微分 151

Ⅰ基本内容 151

7.1多元函数和函数的定义域 151

7.2多元函数的极限和连续性 152

7.3多元函数的偏导数 152

7.4多元函数的全微分 154

7.5多元复合函数的求导法则 156

7.6隐函数的求导公式 158

7.7方向导数和梯度 161

7.8泰勒公式 164

7.9偏导数在几何中的应用 165

7.10多元函数的极值 167

7.11曲线的拟合 171

7.12曲线族的包络线 172

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序 173

｛范例7-1｝函数的定义域和边界方程 173

｛范例7-2｝二元函数的极限（图形动画） 175

｛范例7-3｝二元函数的偏导数 178

｛范例7-4｝二元函数不连续的偏导数 181

｛范例7-5｝复合函数的全导数 183

｛范例7-6｝复合函数的偏导数 185

｛范例7-7｝隐函数的导数 187

｛范例7-8｝隐函数的偏导数 191

｛范例7-9｝偏微分方程的验证 195

｛范例7-10｝二元函数的泰勒公式和麦克劳林公式 198

｛范例7-11｝方向导数的计算 202

｛范例7-12｝梯度的计算 204

｛范例7-13｝数量场和向量场的关系 205

｛范例7-14｝曲线的切线和法平面（图形动画） 207

｛范例7-15｝曲面的切平面和法线 210

｛范例7-16｝单叶双曲面的一般直纹线方程 213

｛范例7-17｝二元函数的驻点和极值 215

｛范例7-18｝有约束的函数的极值 218

｛范例7-19｝曲线的拟合 222

｛范例7-20｝曲线族和包络线以及微分方程的奇解 225

Ⅲ练习题 227

第8章 多元函数的积分 233

Ⅰ基本内容 233

8.1二重积分 233

8.2三重积分 236

8.3广义二重积分和含参变量的积分 238

8.4多元函数对弧长的曲线积分 241

8.5向量函数对坐标的曲线积分 242

8.6格林公式及其应用 245

8.7含积分因子的全微分方程的解 249

8.8多元函数对面积的曲面积分 251

8.9向量函数对坐标的曲面积分 253

8.10高斯公式和斯托克斯公式 255

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序 259

｛范例8-1｝三角形区域上的二重积分的计算 259

｛范例8-2｝二重积分的换元法 263

｛范例8-3｝环形和椭圆形区域上的二重积分的计算 267

｛范例8-4｝二重无穷积分和二重瑕积分的计算 269

｛范例8-5｝Γ函数的计算 271

｛范例8-6｝B函数的证明和计算 275

｛范例8-7｝B函数与Γ函数之间的关系 277

｛范例8-8｝直角坐标系中三重积分的计算 280

｛范例8-9｝三重积分的柱坐标换元法的计算 282

｛范例8-10｝三重积分的球坐标换元法的计算 284

｛范例8-11｝函数对弧长的曲线积分的计算 288

｛范例8-12｝向量函数对坐标的曲线积分的计算 291

｛范例8-13｝格林公式的验证和应用 293

｛范例8-14｝全微分方程的通解 298

｛范例8-15｝含积分因子的全微分方程的通解 300

｛范例8-16｝多元函数对面积的曲面积分的计算 303

｛范例8-17｝重积分在几何上的应用 306

｛范例8-18｝向量函数通过平面的对坐标的曲面积分的计算 310

｛范例8-19｝向量函数通过柱面和半球面的曲面积分的计算 314

｛范例8-20｝斯托克斯公式的验证 319

Ⅲ练习题 322

第9章 无穷级数 328

Ⅰ基本内容 328

9.1常数项无穷级数 328

9.2正项级数的敛散性 330

9.3交错级数 332

9.4函数项级数 334

9.5幂级数 335

9.6周期函数的傅立叶级数 340

Ⅱ范例的解析、图示、算法和程序 344

｛范例9-1｝发散的无穷级数 344

｛范例9-2｝等比级数的敛散性 348

｛范例9-3｝调和级数的敛散性 351

｛范例9-4｝p-级数的敛散性和应用 354

｛范例9-5｝比较判别法的应用 357

｛范例9-6｝比值判别法的应用 362

｛范例9-7｝柯西判别法的应用 366

｛范例9-8｝有理分式级数的敛散性 370

｛范例9-9｝交错级数的敛散性 372

｛范例9-10｝交错p-级数的敛散性和应用 376

｛范例9-11｝斯特林公式和应用 378

｛范例9-12｝用定积分和幂级数计算无穷级数 381

｛范例9-13｝幂级数的收敛半径和收敛区间 384

｛范例9-14｝p-幂级数的收敛半径和收敛区间 391

｛范例9-15｝先积后导的幂级数的和函数 395

｛范例9-16｝先导后积的幂级数的和函数 397

｛范例9-17｝微分方程的幂级数解 397

｛范例9-18｝周期矩形波的傅立叶级数 404

｛范例9-19｝周期函数在任意区间的傅立叶级数 409

｛范例9-20｝正弦和余弦级数 415

Ⅲ练习题 419