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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 2

一、函数的概念 2

二、函数的初等性态 4

三、函数的运算 6

四、初等函数 7

习题1-1 9

第二节 数列的极限 10

一、数列极限的定义 10

二、数列极限的性质 13

习题1-2 15

第三节 函数的极限 16

一、自变量趋于有限值时函数的极限 16

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 20

习题1-3 21

第四节 无穷小量与无穷大量 22

一、无穷小量的概念 22

二、无穷小量的性质 26

习题1-4 27

第五节 极限运算法则 27

一、极限的四则运算 27

二、复合函数的极限运算法则 30

习题1-5 31

第六节 极限存在准则和两个重要极限 32

一、极限存在准则 32

二、两个重要极限 34

三、柯西（Cauchy）审敛原理 37

习题1-6 38

第七节 无穷小的比较 39

习题1-7 42

第八节 函数的连续性 42

一、函数的连续性 43

二、函数的间断点 44

三、连续函数的性质 45

习题1-8 47

第九节 闭区间上连续函数的性质 49

一、最大值、最小值定理 49

二、介值定理 49

三、一致连续性 50

习题1-9 52

总习题一 52

第二章 导数与微分 55

第一节 导数的概念 55

一、导数的定义 55

二、导数的几何意义 58

三、函数的可导性与连续性 59

习题2-1 61

第二节 求导法则 62

一、导数的四则运算 62

二、反函数的求导法则 64

三、复合函数的求导法则 66

习题2-2 70

第三节 高阶导数 72

习题2-3 76

第四节 隐函数及参数方程所表示的函数求导法 77

一、隐函数求导法则 77

二、由参数方程所确定的函数求导法 79

三、相关变化率 81

习题2-4 82

第五节 函数的微分 83

一、微分的概念 83

二、微分的运算法则 85

三、微分的几何意义 87

四、微分在近似计算中的应用 88

习题2-5 89

总习题二 90

第三章 微分中值定理与导数的应用 93

第一节 微分中值定理 93

一、费马定理与罗尔定理 93

二、拉格朗日中值定理与柯西中值定理 95

习题3-1 100

第二节 泰勒公式 101

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 101

二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 104

习题3-2 108

第三节 不定式 108

一、0/0型不定式的极限 109

二、∞/∞型不定式的极限 111

三、其他类型不定式的极限 113

习题3-3 115

第四节 函数的单调性与极值 115

一、函数的单调性 116

二、极值 118

三、最值 120

习题3-4 122

第五节 函数的凸凹性与函数图像描绘 123

一、函数的凸凹性与拐点 123

二、曲线的渐近线 126

三、函数作图 128

习题3-5 130

总习题三 130

第四章 不定积分 133

第一节 不定积分的概念与性质 133

一、原函数与不定积分的概念 133

二、基本积分表 134

三、不定积分的性质 135

习题4-1 136

第二节 换元积分法与分部积分法 137

一、换元积分法 137

二、分部积分法 143

习题4-2 148

第三节 有理函数与一些特殊函数的不定积分 149

一、有理函数的不定积分 149

二、三角有理函数的不定积分 152

三、某些无理根式的不定积分 153

习题4-3 155

总习题四 156

第五章 定积分及其应用 158

第一节 定积分的概念与性质 158

一、定积分的概念 158

二、定积分的性质 161

三、可积的必要条件与可积函数类 166

习题5-1 168

第二节 微积分基本定理、基本公式及定积分的计算 169

一、微积分基本定理与基本公式 169

二、定积分的换元法与分部积分法 174

习题5-2 178

第三节 反常积分 179

一、无穷限反常积分 180

二、无界函数的反常积分 185

习题5-3 189

第四节 定积分的应用 190

一、定积分的元素法 190

二、定积分在几何上的应用 191

三、定积分在物理上的应用 199

习题5-4 200

总习题五 201

第六章 微分方程 203

第一节 微分方程的基本概念 203

一、引例 203

二、基本定义 204

习题6-1 206

第二节 可分离变量的微分方程 207

习题6-2 210

第三节 齐次方程 211

一、齐次方程 211

二、可化为齐次方程的方程 212

习题6-3 214

第四节 一阶线性微分方程 215

一、一阶线性微分方程 215

二、可化为一阶线性微分方程的类型 217

习题6-4 219

第五节 可降阶的高阶微分方程 220

一、y（n）=f（x）型的微分方程 220

二、y"=f（x，y'）型的微分方程 221

三、y"=f（y，y'）型的微分方程 223

习题6-5 225

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 225

一、n阶线性微分方程及微分算子形式 225

二、函数组的线性相关性 226

三、n阶齐次线性微分方程通解的结构 227

四、n阶非齐次线性微分方程通解的结构 227

五、刘维尔公式 228

六、常数变易法 229

习题6-6 231

第七节 常系数齐次线性微分方程 232

一、二阶常系数线性微分方程实例 232

二、二阶常系数齐次线性方程通解的求法 234

三、n阶常系数齐次线性方程通解的求法 236

习题6-7 237

第八节 常系数非齐次线性微分方程 237

一、f(x）=eλxPm（x）（λ可以是复数，Pm（x）是m次多项式） 237

二、f（x）=Pm（x）eax cosβx或f（x）=Pm（x）eax sinβx（其中α，β为实数） 239

习题6-8 241

第九节 欧拉方程 242

习题6-9 244

第十节 微分方程补充知识 244

一、常系数线性微分方程组解法 244

二、微分方程的其他解法及研究方法 245

总习题六 245

附录Ⅰ几种常用的曲线 248

附录Ⅱ积分表 251

部分习题答案与提示 261

习题1-1 261

习题1-2 261

习题1-3 262

习题1-4 262

习题1-5 262

习题1-6 263

习题1-7 264

习题1-8 264

习题1-9 265

总习题一 265

习题2-1 266

习题2-2 266

习题2-3 268

习题2-4 269

习题2-5 269

总习题二 270

习题3-1 271

习题3-2 272

习题3-3 273

习题3-4 273

习题3-5 274

总习题三 274

习题4-1 276

习题4-2 277

习题4-3 279

总习题四 280

习题5-1 282

习题5-2 282

习题5-3 283

习题5-4 284

总习题五 284

习题6-1 287

习题6-2 288

习题6-3 289

习题6-4 289

习题6-5 290

习题6-6 290

习题6-7 291

习题6-8 292

习题6-9 293

总习题六 293