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第8章 空间解析几何与向量代数 1

8.1 向量及其线性运算 1

8.1.1 向量概念 1

8.1.2 向量的线性运算 2

习题 8.1 7

8.2 空间直角坐标系及向量的坐标 7

8.2.1 空间直角坐标系的建立 7

8.2.2 向量的坐标 8

8.2.3 用坐标进行向量的运算 8

8.2.4 向量的模、方向余弦的坐标表示 10

8.2.5 向量在轴上的投影 13

习题 8.2 14

8.3 数量积与向量积 15

8.3.1 两向量的数量积 15

8.3.2 两向量的向量积 18

习题 8.3 21

8.4 曲面及其方程 22

8.4.1 曲面方程的概念 22

8.4.2 旋转曲面 24

8.4.3 柱面 26

8.4.4 二次曲面 28

习题 8.4 30

8.5 空间曲线及其方程 31

8.5.1 空间曲线的一般方程 31

8.5.2 空间曲线的参数方程 32

8.5.3 空间曲线在坐标面上的投影 33

习题 8.5 35

8.6 平面及其方程 36

8.6.1 平面的点法式方程 36

8.6.2 平面的一般方程 37

8.6.3 平面的截距式方程 39

8.6.4 两平面的夹角 40

8.6.5 点到平面的距离公式 41

习题 8.6 42

8.7 空间直线及其方程 42

8.7.1 空间直线方程 42

8.7.2 两直线的夹角 46

8.7.3 直线与平面的夹角 46

习题 8.7 47

8.8 本章小结 48

8.8.1 内容提要 48

8.8.2 基本要求 51

综合练习题 52

第9章 多元函数的微分法及其应用 55

9.1 多元函数及其极限与连续的概念 55

9.1.1 多元函数的定义 55

9.1.2 二元函数的几何意义 57

9.1.3 平面点集的有关名称简述 58

9.1.4 二元函数的极限 59

9.1.5 二元函数的连续性 62

9.1.6 有界闭区域上二元连续函数的重要性质 63

习题 9.1 64

9.2 多元函数的偏导数 65

9.2.1 偏导数的概念与计算 65

9.2.2 二元函数偏导数的几何意义 68

9.2.3 二元函数可偏导与连续的关系 69

9.2.4 高阶偏导数 70

习题 9.2 72

9.3 多元函数的复合函数求导法 74

习题 9.3 79

9.4 多元函数的全微分及其应用 80

9.4.1 全微分的概念 80

9.4.2 函数可微与连续及可偏导的关系 81

9.4.3 全微分的运算性质 83

9.4.4 全微分在近似计算中的应用 84

习题 9.4 85

9.5 隐函数及其微分法 86

习题 9.5 91

9.6 偏导数的几何应用 92

9.6.1 空间曲线的切线及法平面 92

9.6.2 曲面的切平面及法线 94

9.6.3 函数全微分的几何意义 97

习题 9.6 97

9.7 多元函数的极值及其求法 98

9.7.1 二元函数的极值 98

9.7.2 多元函数的最大值、最小值问题 100

9.7.3 条件极值 102

习题 9.7 106

9.8 方向导数和梯度 107

9.8.1 方向导数 107

9.8.2 函数的梯度 112

习题 9.8 114

9.9 本章小结 114

9.9.1 多元函数及其极限与连续 114

9.9.2 偏导数、求导法则、全微分、方向导数 115

9.9.3 偏导数的应用 117

9.9.4 本章基本要求 118

综合练习题 119

第10章 重积分 123

10.1 二重积分的概念和性质 123

10.1.1 引例 123

10.1.2 二重积分的定义 125

10.1.3 二重积分的性质 128

习题 10.1 129

10.2 二重积分的计算及其几何应用 129

10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 130

10.2.2 利用极坐标计算二重积分 136

10.2.3 二重积分的几何应用 140

习题 10.2 143

10.3 三重积分的概念及其计算法 145

10.3.1 引例和定义 145

10.3.2 三重积分的计算法 146

10.3.3 在柱面坐标下计算三重积分 149

10.3.4 在球面坐标中计算三重积分 152

习题 10.3 154

10.4 本章小结 155

10.4.1 内容提要 155

10.4.2 基本要求 160

综合练习题 160

第11章 曲线积分和曲面积分 163

11.1 对弧长的曲线积分 163

11.1.1 对弧长的曲线积分的概念和性质 163

11.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 165

习题 11.1 167

11.2 对坐标的曲线积分 168

11.2.1 对坐标的曲线积分的概念和性质 168

11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 171

11.2.3 两类曲线积分的关系 174

习题 11.2 175

11.3 格林公式及其应用 176

11.3.1 格林公式 177

11.3.2 积分与路径无关的条件及全微分求积 180

习题 11.3 186

11.4 对面积的曲面积分 187

11.4.1 对面积的曲面积分的概念和性质 187

11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 188

习题 11.4 190

11.5 对坐标的曲面积分 190

11.5.1 对坐标的曲面积分的概念和性质 190

11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 193

11.5.3 两类曲面积分的关系 196

习题 11.5 197

11.6 高斯公式、通量和散度 198

11.6.1 高斯公式 198

11.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 201

11.6.3 通量与散度 202

习题 11.6 204

11.7 斯托克斯公式、环流量和旋度 204

11.7.1 斯托克斯公式 204

11.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 205

11.7.3 环流量与旋度 206

习题 11.7 208

11.8 本章小结 209

11.8.1 内容提要 209

11.8.2 基本要求 215

综合练习题 216

第12章 无穷级数 220

12.1 常数项级数的概念和性质 220

12.1.1 常数项级数的概念 220

12.1.2 收敛级数的基本性质 224

习题 12.1 227

12.2 常数项级数的审敛法 228

12.2.1 正项级数及其审敛法 228

12.2.2 交错级数及其审敛法 236

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 238

习题 12.2 240

12.3 幂级数 241

12.3.1 函数项级数的概念 241

12.3.2 幂级数及其收敛性 242

12.3.3 幂级数的性质 246

习题 12.3 249

12.4 函数展开成幂级数 250

12.4.1 泰勒级数 250

12.4.2 函数展开成幂级数 252

习题 12.4 260

12.5 函数的幂级数展开式的应用 259

12.5.1 近似计算 259

12.5.2 欧拉公式 261

习题 12.5 263

12.6 傅里叶级数 264

12.6.1 三角级数 264

12.6.2 三角函数系及其正交性 265

12.6.3 将周期为2π的周期函数展成傅里叶级数 266

12.6.4 将定义在[-π，π]上及定义在[0，π]上的函数展成傅里叶级数 271

12.6.5 将一般周期函数展成傅里叶级数 274

习题 12.6 278

12.7 本章小结 279

12.7.1 内容提要 279

12.7.2 基本要求 283

综合练习题 283

习题及综合练习题答案 288