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第一部分 几何学发展概述 3

第1章 几何学发展简史 3

1欧几里得与《原本》 4

1.1《原本》产生的历史背景 4

1.2《原本》的结构与内容 5

1.3《原本》的优缺点 10

1.4《原本》对我国数学的影响 11

2解析几何的诞生 12

2.1笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献 12

2.1.1笛卡儿的主要工作 12

2.1.2费马的主要工作 14

2.2解析几何的发展 17

2.3解析几何的重要性 18

3从透视学到射影几何 19

3.1射影几何的由来 19

3.2射影几何的发展 21

3.3平面射影几何公理体系 24

4非欧几何的产生与非欧几何公理体系 25

4.1非欧几何的产生背景 25

4.2非欧几何的形成 27

4.3非欧几何的发展与确认 30

5几何学的统一与公理化思想 32

5.1几何学的统一 32

5.2几种几何学的比较 34

5.3公理化思想方法 36

6几何学的近现代发展简介 40

6.1微分几何 40

6.2拓扑学 41

练习1 42

第2章 非欧几何的几种典型模型 43

1锐角假设与罗氏几何 43

1.1锐角假设与双曲几何 43

1.2双曲几何的代表——罗氏几何简介 44

1.3真理性讨论 45

2钝角假设与球面几何 47

2.1钝角假设与椭圆几何 47

2.2椭圆几何的代表——球面几何简介 47

2.2.1球面上的基本图形 47

2.2.2球面三角形 49

3非欧几何的实现模型 52

3.1克莱因模型 52

3.2庞加莱模型 54

练习2 56

第二部分 欧氏几何、仿射几何与射影几何 59

第3章 欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类 59

1直角坐标系、欧氏平面、变换群与等距变换 59

1.1直角坐标系与欧氏平面 59

1.2变换群 60

1.2.1映射与变换的定义 60

1.2.2二维平面上的点变换及其代数表达式 60

1.2.3映射的乘积与逆 62

1.2.4变换的不动元素与不动子集 63

1.2.5变换群的概念 64

1.3等距变换 65

1.3.1等距变换的定义和代数表达式 65

1.3.2等距变换的直观实现 66

1.3.3等距变换的性质 67

2二次曲线的度量性质 68

2.1欧氏平面上二次曲线的定义及基本概念 68

2.2二次曲线与直线的相关位置 69

2.3二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 70

2.3.1二次曲线的渐近方向 70

2.3.2二次曲线的中心与渐近线 71

2.4二次曲线的切线 73

2.5二次曲线的直径 76

2.5.1二次曲线的直径 76

2.5.2共轭方向与共轭直径 78

2.6二次曲线的主直径与主方向 79

3利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类 83

3.1平面直角坐标变换 83

3.2利用平面直角坐标变换化简二次曲线的方程与分类 84

练习3 93

第4章 仿射坐标系、仿射平面与仿射变换 97

1仿射坐标系与仿射平面 97

1.1平行射影 97

1.2仿射坐标系与仿射平面 100

2仿射变换的相关问题 101

2.1仿射变换的代数表达式 101

2.2关于仿射变换的确定及其重要定理 103

2.3仿射平面上直线的几个常用结论 105

2.4几种重要的仿射变换 109

2.5仿射性质 110

练习4 111

第5章 从仿射平面到射影平面 113

1扩大的仿射平面 113

1.1中心射影和无穷远元素 113

1.2射影直线和射影平面以及它们的性质 115

1.3射影平面的拓扑模型 117

1.4图形的射影性质 118

2齐次仿射坐标 119

2.1点的齐次仿射坐标 120

2.2直线的齐次仿射坐标方程 121

2.3齐次仿射线坐标 124

3德萨格定理与平面对偶原理 125

3.1德萨格定理 125

3.2平面上的对偶原理 127

4交比与调和共轭 129

4.1点列中四点的交比 129

4.2线束中4条直线的交比 134

练习5 137

第6章 射影坐标系与射影变换 141

1射影坐标系 141

1.1直线上的射影坐标系 141

1.2平面上的射影坐标系 143

2射影变换 146

2.1透视对应及其相关概念 146

2.1.1点列与线束的透视对应 146

2.1.2点列与线束的射影对应 148

2.2射影变换 151

2.2.1一维射影变换 151

2.2.2一维射影变换有一种特殊情况——对合 153

2.2.3二维射影变换 154

3射影对应（变换）的代数表达式和帕普斯定理 155

3.1一维射影对应（变换）的代数表达式 155

3.2二维射影对应（变换）的代数表达式 158

3.3帕普斯定理 162

4变换群与几何学的关系 163

4.1平面上的几个重要变换群 163

4.2欧氏几何与欧氏群 163

4.3克莱因变换群观点简介 164

4.4射影几何、仿射几何和欧氏几何间的比较 165

练习6 166

第7章 二次曲线的性质与分类 169

1二次曲线的射影性质 169

1.1二阶曲线与二级曲线的定义 169

1.2二次曲线的射影定义 172

1.3二阶曲线与二级曲线的关系 173

1.4帕斯卡和布利安桑定理 176

1.5二次曲线的极点与极线 178

1.6配极原则与配极对应 181

2二次曲线的射影分类 182

2.1二阶曲线的奇异点 183

2.2二次曲线的射影分类 185

3二次曲线的仿射性质 187

3.1二次曲线与无穷远直线的相关位置 188

3.2二次曲线的中心 189

3.3二次曲线的直径与共轭直径 191

3.4二次曲线的渐近线 195

4二次曲线的仿射分类 197

练习7 198

第三部分“大学几何”与“中学几何” 203

第8章“大学几何”对“中学几何”的指导意义 203

1中学几何的研究内容及方法 203

1.1几何学的研究对象及分类 203

1.2中学几何的主要研究内容 204

1.3中学几何的基本研究方法 205

2“大学几何”与“中学几何”的联系 207

3“大学几何”对“中学几何”教学的指导意义 207

3.1高等师范院校数学教学改革中几何课程改革的重要性与必要性 208

3.2用现代数学的观点看待“中学几何” 208

练习8 211

第9章“大学几何”方法在“中学几何”中的应用 212

1“向量法”与“坐标法”在中学几何中的应用 212

1.1用向量法证明共点（或共线）问题 212

1.2用向量法证明垂直（或平行）问题 214

1.3有关夹角或距离问题的例子 216

1.4有关面积、体积问题的例子 218

2仿射及射影几何方法在中学几何中的应用 220

2.1仿射方法在中学几何中的应用 220

2.2射影方法在中学几何中的应用 222

练习9 224

参考文献 226