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目录 1

第6章 向量代数与空间解析几何 1

6.1　空间直角坐标系 1

6.1.1 空间直角坐标系 1

6.1.2　空间点的坐标 2

6.1.3 空间两点间的距离 3

6.1.4 Euclid空间 4

习题6.1 6

6.2　向量及其线性运算 向量在轴上的投影 6

6.2.1　向量概念 6

6.2.2　向量的线性运算 7

6.2.3　向量的坐标表示式 10

6.2.4　方向余弦 13

6.2.5　向量在轴上的投影 15

6.3.1　向量的数量积 16

6.3　向量乘积 16

习题6.2 16

6.3.2　向量的向量积 19

习题6.3 23

6.4　平面及其方程 24

6.4.1　平面方程 25

6.4.2　两平面间的夹角 29

6.4.3　点到平面的距离 29

习题6.4 30

6.5　空间直线及其方程 31

6.5.1　直线方程 31

6.5.2 两直线的关系 34

6.5.3 直线与平面的夹角 36

6.5.4　平面束 37

习题6.5 38

6.6.1 曲面方程的概念 39

6.6　曲面及其方程 39

6.6.2　旋转曲面 40

6.6.3　柱面 42

习题6.6 43

6.7　空间曲线及其方程 44

6.7.1 空间曲线的一般方程 44

6.7.2　空间曲线的参数方程 46

6.7.3 空间曲线在坐标平面上的投影 47

习题6.7 49

6.8　二次曲面 50

6.8.1　椭球面 50

6.8.2　椭圆抛物面 51

6.8.3　锥面 52

6.8.4　单叶双曲面 52

6.8.6　双曲抛物面 54

6.8.5　双叶双曲面 54

习题6.8 55

6.9 曲面的参数方程 55

总习题6 57

第7章 多元函数微分法及其应用 59

7.1　多元函数的极限及连续性 59

7.1.1 多元函数的概念 59

7.1.2　多元函数的极限 62

7.1.3 多元函数的连续性 64

习题7.1 66

7.2　偏导数 66

7.2.1　偏导数的定义及偏导数的求法 66

7.2.2　偏导数的几何意义 69

7.2.3　高阶偏导数 70

习题7.2 72

7.3.1 中值定理 73

7.3　全微分 73

7.3.3　可微分条件 74

7.3.2　全微分的定义 74

习题7.3 78

7.4　多元复合函数求导法则 79

7.4.1 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 79

7.4.2 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 81

7.4.3　某些中间变量又是复合函数中的自变量的情形 82

7.4.4　全微分的形式不变性 83

7.4.5　复合函数的高阶偏导数 84

习题7.4 86

7.5　隐函数求导法 87

7.5.1　一个方程的情形 88

7.5.2　方程组的情形 91

习题7.5 94

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 95

7.6　多元函数微分法在几何上的应用 95

7.6.2 空间曲面的切平面与法线 98

习题7.6 102

7.7　梯度与方向导数 103

7.7.1　梯度与场 103

7.7.2　方向导数 104

7.7.3　等值线与梯度的关系 108

习题7.7 109

7.8　多元函数的极值 110

7.8.1　极值、最大值、最小值 110

7.8.2　条件极值 114

习题7.8 121

7.9 二元函数的Taylor公式 122

7.9.1　二元函数的Taylor公式 122

7.9.2　二元函数极值充分条件的证明 125

习题7.9 127

7.10 最小二乘法 128

习题7.10 132

总习题7 133

第8章　重积分 135

8.1　二重积分及其计算 135

8.1.1　二重积分的概念 135

8.1.2　二重积分的基本性质 138

8.1.3　二重积分在直角坐标系下的计算 139

习题8.1 144

8.2　三重积分及其计算 146

8.2.1　三重积分的定义 146

8.2.2　三重积分在直角坐标系下的计算 147

习题8.2 152

8.3.1　二重积分的换元法 153

8.3　重积分的换元法 153

8.3.2　三重积分的换元法 157

习题8.3 163

8.4　重积分应用 165

8.4.1　重积分在几何上的应用 165

8.4.2　重积分在物理上的应用 169

习题8.4 173

总习题8 174

第9章 曲线积分与曲面积分 177

9.1　第一型曲线积分 177

9.1.1 第一型曲线积分的定义 177

9.1.2　第一型曲线积分的性质 178

9.1.3 第一型曲线积分的计算 179

9.1.4　第一型曲线积分的应用 181

习题9.1 183

9.2.1 第一型曲面积分的定义 184

9.2　第一型曲面积分 184

9.2.2 第一型曲面积分的性质 185

9.2.3 第一型曲面积分的计算 186

9.2.4 第一型曲面积分的应用 188

习题9.2 189

9.3　第二型曲线积分 190

9.3.1 第二型曲线积分的定义与性质 190

9.3.2 第二型曲线积分的计算 192

9.3.3 两类曲线积分之间的联系 193

习题9.3 194

9.4　第二型曲面积分 195

9.4.1 第二型曲面积分的概念与性质 195

9.4.2 第二型曲面积分的计算 197

9.4.3 两类曲面积分之间的联系 199

习题9.4 200

9.5.1　Green公式 201

9.5　Green公式 201

9.5.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 204

习题9.5 209

9.6　全微分方程 209

9.6.1　全微分求积 210

9.6.2　全微分方程 211

习题9.6 212

9.7　Gauss公式 213

9.7.1　Gauss公式 213

9.7.2 曲面积分与所选曲面无关的条件 216

习题9.7 217

9.8　Stokes公式 218

9.8.1　Stokes公式 218

9.8.2　散度与旋度 220

习题9.8 223

总习题9 224

第10章　级数 227

10.1　常数项级数的概念和性质 227

10.1.1　收敛与发散的概念 227

10.1.2　收敛级数的基本性质 230

习题10.1 233

10.2　正项级数审敛法 234

10.2.1 同号级数 234

10.2.2　正项级数审敛法 234

习题10.2 242

10.3　交错级数　绝对收敛与条件收敛 243

10.3.1　交错级数及其审敛法 243

10.3.2　绝时收敛与条件收敛 245

习题10.3 248

10.4.1 函数项级数的概念 249

10.4　幂级数 249

10.4.2　幂级数及其收敛性 250

10.4.3　幂级数的运算 254

习题10.4 257

10.5　函数展成幂级数 258

10.5.1　Taylor级数 258

10.5.2　函数展成幂级数 261

10.5.3　Euler公式 265

习题10.5 266

10.6 微分方程的幂级数解法 267

10.6.1　一阶微分方程求解举例 267

10.6.2　二阶微分方程求解举例 268

习题10.6 269

10.7 Fourier级数 269

10.7.1　三角函数系的正交性，三角级数 270

10.7.2　函数展开成Fourier级数 271

10.7.3　正弦级数与余弦级数 274

10.7.4　周期延拓、奇延拓与偶延拓 276

习题10.7 279

10.8 Fourier级数的复指数形式与Fourier积分变换的概念 280

10.8.1 Fourier级数的复指数形式 280

10.8.2 非周期函数的Fou rier积分和Fourier变换 281

10.8.3　广义Fourier级数展开 284

10.8.4 关于偏微分方程的一个例子——波动方程 284

习题10.8 287

总习题10 287

第11章　数学实验 289

11.1　Mathematica简介 289

11.1.1　Mathematica的进入与退出 289

11.1.2　Mathematica中的数与运算符、变量、函数 291

11.1.3　Mathematica中的表 296

11.1.4　解方程与方程组 297

11.1.5　程序设计 300

11.1.6　Mathematica操作的注意事项 302

11.1.7　Mathematica的错误提示 302

习题11.1 303

11.2　函数与极限实验 303

11.2.1 实验目的 303

11.2.2　实验内容 303

11.2.3　实验步骤 303

习题11.2 312

11.3　一元函数微分学实验 313

11.3.1 实验目的 313

11.3.2　实验内容 313

11.3.3　实验步骤 313

习题11.3 318

11.4.3　实验步骤 319

11.4.2　实验内容 319

11.4.1 实验目的 319

11.4　一元函数积分学实验 319

习题11.4 322

11.5　微分方程实验 323

11.5.1 实验目的 323

11.5.2 实验内容 323

11.5.3　实验步骤 323

习题11.5 329

11.6　空间曲线和曲面的绘制实验 329

11.6.1　实验目的 329

11.6.2　实验内容 330

11.6.3　实验步骤 330

习题11.6 338

11.7.3　实验步骤 340

11.7.2 实验内容 340

11.7.1　实验目的 340

11.7　多元函数微分学实验 340

习题11.7 353

11.8　多元函数积分学实验 354

11.8.1　实验目的 354

11.8.2　实验内容 354

11.8.3　实验步骤 354

习题11.8 358

11.9　无穷级数实验 359

11.9.1 实验目的 359

11.9.2 实验内容 359

11.9.3　实验步骤 359

习题11.9 365

附录　习题答案 366

参考文献 385