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第一章 函数 1

1.1　集合、区间、邻域 1

一、集合 1

二、实数的绝对值 3

三、区间和邻域 4

1.2　函数的概念 6

一、变量与常量 6

二、函数的概念 6

三、函数的表示法与分段函数 9

1.3　函数的几种特性 11

一、函数的有界性 11

二、函数的奇偶性 12

三、函数的单调性 13

四、函数的周期性 15

1.4 反函数与复合函数 17

一、反函数 17

二、复合函数 19

1.5　基本初等函数与初等函数 23

一、基本初等函数 23

二、初等函数 27

三、双曲函数 28

1.6　建立函数关系式举例 30

学习指导 33

第二章　极限与连续 40

2.1　数列的极限 40

一、数列的概念及其性质 40

二、数列的极限 42

三、数列的收敛性与有界性的关系 46

一、自变量趋向于无穷时函数的极限 50

2.2　函数的极限 50

二、自变量趋向于有限值时函数的极限 52

三、函数极限的性质定理 57

2.3　无穷小和无穷大 58

一、无穷小的概念及运算 59

二、无穷大的概念 60

三、无穷大与无穷小的关系 62

四、具有极限的函数与无穷小的关系 63

2.4　极限的运算法则 63

一、极限的四则运算法则 64

二、复合函数的极限 69

三、极限的不等式定理 70

一、极限存在的夹逼准则 71

2.5　极限存在的夹逼准则 两个重要极限 71

二、两个重要极限 73

2.6　无穷小的比较 78

一、无穷小比较的概念 78

二、等价无穷小的性质及其应用 80

2.7　函数的连续性与间断点 81

一、函数的连续性 81

二、左、右连续及连续的充要条件 84

三、函数的间断点及其分类 86

2.8　连续函数的运算及初等函数的连续性 89

一、连续函数的四则运算 89

二、反函数与复合函数的连续性 89

三、初等函数的连续性 90

一、最大值和最小值定理 92

2.9　闭区间上连续函数的性质 92

二、介值定理 94

学习指导 96

第三章　导数与微分 105

3.1　导数的概念 105

一、变化率问题举例 105

二、导数的定义 107

三、根据定义求导数举例 108

四、导数的几何意义 111

五、函数的可导性与连续性的关系 113

3.2 函数的四则运算的求导法则 115

一、函数的和、差的求导法则 115

二、函数的积的求导法则 117

三、函数的商的求导法则 119

3.3　反函数的导数 121

一、反函数的求导法则 121

二、指数函数的导数 122

三、反三角函数的导数 123

3.4　复合函数的求导法则 124

3.5　初等函数的导数和分段函数的求导举例 129

一、初等函数的导数 130

二、分段函数求导举例 131

3.6　高阶导数 132

3.7　隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 137

一、隐函数的导数 137

二、对数求导法 139

三、由参数方程所确定的函数的导数 140

一、微分的定义 144

3.8　函数的微分 144

二、函数可微与可导之间的关系 145

三、微分的几何意义 147

四、函数的微分公式与微分法则 148

五、复合函数的微分法则与微分形式不变性 149

3.9　微分的应用 151

一、微分在近似计算中的应用 151

二、微分在误差估计中的应用 154

学习指导 157

第四章 中值定理与罗必塔法则 168

4.1　中值定理 168

一、罗尔定理 168

二、拉格朗日定理 170

三、柯西定理 173

4.2　罗必塔法则 175

一、？和？型未定式的罗必塔法则 175

二、其他未定式的计算 178

4.3　泰勒公式 180

学习指导 186

第五章　导数的应用 199

5.1 函数的单调性的判定法 199

5.2　函数的极值及其求法 204

5.3　最大值、最小值问题 210

一、函数在闭区间上的最大值和最小值 210

二、实际问题中的最大值和最小值 212

5.4 曲线的凹凸性与拐点 215

一、曲线的凹凸性 215

二、曲线的拐点 218

、曲线的水平渐近线与铅直渐近线 220

5.5 函数图形的描绘 220

二、函数图形的描绘 221

5.6　曲率 225

一、弧微分 225

二、曲率的概念及计算公式 226

三、曲率半径与曲率圆 232

学习指导 234

第六章　不定积分 244

6.1 原函数与不定积分 244

一、原函数与不定积分的概念 244

二、基本积分表 249

三、不定积分的性质 251

6.2　换元积分法 255

一、第一类换元法 256

二、第二类换元法 264

三、基本积分表的扩充 270

6.3　分部积分法 272

6.4　有理函数的积分 279

一、把有理真分式化为部分分式之和 279

二、有理真分式的积分 284

6.5 三角函数有理式的积分及简单无理函数的积分举例 290

一、三角函数有理式的积分 290

二、简单无理函数的积分举例 293

6.6　积分表的使用 295

学习指导 299

第七章　定积分 316

7.1　定积分的概念 316

一、引入定积分的两个实例 316

二、定积分的定义 319

三、定积分的几何意义 321

7.2　定积分的性质　中值定理 324

7.3　牛顿－莱布尼兹公式 330

一、变上限的定积分 330

二、牛顿－莱布尼兹公式 333

7.4　定积分的换元积分法 337

7.5　定积分的分部积分法 344

7.6　定积分的近似计算法 348

一、矩形法 349

二、梯形法 349

三、抛物线法 350

7.7　广义积分 354

一、无穷区间上的广义积分 354

二、无界函数的广义积分 357

学习指导 360

第八章　定积分的应用 376

8.1　平面图形的面积 376

一、直角坐标情形 376

二、极坐标情形 380

8.2　某些特殊立体的体积 382

一、平行截面面积为已知的立体的体积 382

二、旋转体的体积 384

8.3　平面曲线的弧长 387

一、直角坐标情形 387

二、参数方程情形 389

三、极坐标情形 391

8.4　功和动能 392

一、功 393

二、动能 397

8.5　水压力与引力 398

一、水压力 398

二、引力 403

8.6　平均值与均方根 404

一、函数的平均值 404

二、均方根 407

学习指导 408

第九章　向量代数 419

9.1　空间直角坐标系 419

一、空间直角坐标系 419

二、空间内点的直角坐标 420

三、空间内两点间的距离公式 421

9.2　向量的概念及其几何运算 422

一、向量的概念 422

二、向量的加、减运算 423

三、数与向量的乘法 425

9.3　向量的坐标 428

一、向量在轴上的投影 428

二、向量的坐标 431

三、向量线性运算的坐标表示式 432

四、向量的模及方向余弦的坐标表示式 435

9.4　向量的数量积 438

一、数量积的定义及其运算性质 438

二、数量积的坐标表示式及两个向量垂直的充要条件 441

9.5　向量的向量积 444

一、向量积的定义及其运算性质 444

二、向量积的坐标表示式及两个向量平行的充要条件 446

学习指导 448

一、平面的点法式方程 453

第十章　空间解析几何 453

10.1　空间平面及其方程 453

二、平面的一般方程 455

三、平面的截距式方程 457

四、两平面的夹角及两平面平行或垂直的条件 458

五、点到平面的距离公式 460

10.2　空间直线及其方程 461

一、空间直线的一般方程 461

二、空间直线的点向式、两点式及参数方程 462

三、两直线的夹角及两直线平行或垂直的条件 464

四、直线与平面的夹角及平行或垂直的条件 466

五、平面束方程 467

一、曲面与方程的概念 474

二、球面 474

10.3　空间曲面及其方程 474

三、柱面 475

四、旋转曲面 477

10.4　空间曲线及其方程 480

一、空间曲线的一般方程 480

二、空间曲线的参数方程 481

三、空间曲线在坐标面上的投影 482

10.5　二次曲面 484

一、椭球面 485

二、椭圆抛物面 486

三、单叶双曲面 487

四、双叶双曲面 489

五、双曲抛物面 490

学习指导 490