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目录 1

第一章 函数 极限 连续 1

§1 函数 1

1.1 常量与变量 1

1.2 函数 2

1.3 初等函数 8

习题1-1 11

§2 极限的概念 13

2.1 数列的极限 14

2.2 函数的极限 15

2.3 无穷小量与无穷大量 18

习题1-2 21

§3 极限的运算法则 23

习题1-3 28

§4 两个重要极限 30

习题1-4 36

§5 函数的连续性 37

5.1 连续的概念 37

5.2 闭区间上连续函数的性质 42

习题1-5 44

本章要点 45

复习题一 47

第二章 导数与微分 53

§1 导数的概念 53

1.1 导数的概念 53

1.2 导数的几何意义 56

1.3 可导与连续的关系 56

1.4 求导举例 58

习题2-1 60

§2 求导法则 60

2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 61

2.2 反函数求导法则 64

2.3 复合函数求导法则 65

2.4 基本导数公式和求导法则 68

习题2-2 69

§3 高阶导数 70

3.1 高阶导数的概念 70

习题2-3 73

§4 隐函数的导数 74

4.1 隐函数的导数 74

4.2 对数求导法 76

习题2-4 76

§5 函数的微分 77

5.1 微分的概念 77

5.2 微分的几何意义 80

5.3 微分公式与微分的运算法则 80

习题2-5 85

本章要点 87

复习题二 89

第三章 导数的应用 94

§1 中值定理 94

1.1 罗尔定理 94

1.2 拉格朗日中值定理 95

1.3 柯西中值定理 97

习题3-1 97

§2 洛必达法则 98

习题3-2 103

§3 函数的极值与最值 104

3.1 函数的单调性 104

3.2 函数的极值 108

3.3 函数的最值 111

习题3-3 114

§4 曲线的凹凸性和拐点及函数图形的描绘 116

4.1 曲线的凹凸性和拐点 116

4.2 函数图形的描绘 119

习题3-4 122

§5 导数在经济中的应用 123

5.1 边际函数 123

5.2 函数的弹性 126

习题3-5 127

本章要点 128

复习题三 130

第四章 不定积分 135

§1 不定积分 135

1.1 原函数与不定积分的概念 135

1.2 不定积分的几何意义和物理意义 137

1.3 基本积分公式 139

1.4 不定积分的性质 140

习题4-1 143

§2 换元积分法 144

2.1 第一类换元积分法 145

2.2 第二类换元积分法 150

习题4-2 154

§3 分部积分法 157

习题4-3 162

§4 简单有理函数的不定积分 163

4.1 几个简单的例子 163

4.2 有理函数的积分 165

习题4-4 169

§5 积分表的使用 170

5.1 在积分表中能直接查到的积分 170

5.2 需要先进行恒等变形或变量代换再查积分表的 171

5.3 用递推公式的积分 172

习题4-5 173

本章要点 174

复习题四 176

1.1 实例分析 179

第五章 定积分及其应用 179

§1 定积分的概念 179

1.2 定积分的概念 182

1.3 定积分的几何意义 183

习题5-1 185

§2 定积分的性质 186

习题5-2 189

§3 微积分基本公式 190

3.1 积分上限函数及其导数 190

3.2 微积分基本公式 194

习题5-3 196

§4 定积分的计算 197

4.1 定积分的换元积分法 198

4.2 定积分的分部积分法 203

习题5-4（1） 206

§5 广义积分 208

习题5-4（2） 208

5.1 无限区间上的广义积分 209

5.2 无界函数的广义积分（瑕积分） 211

习题5-5 213

§6 定积分的微元法 214

§7 定积分在几何上的应用 216

7.1 平面图形的面积 216

7.2 立体的体积 222

7.3 平面曲线的弧长 225

习题5-7 227

§8 定积分在物理上的应用 228

8.1 功 228

8.2 液体的压力 229

8.3 平均值 229

8.4 静力矩与质心 231

习题5-8 233

8.5 转动惯量 233

本章要点 234

复习题五 236

附录1 积分表 241

附录2 高等数学实验指导（上） 252

附录3 习题与复习题参考答案 262

第六章 常微分方程 289

§1 微分方程的概念 289

习题6-1 292

§2 一阶微分方程 293

2.1 可分离变量的微分方程 293

2.2 一阶线性微分方程 297

习题6-2 304

§3 可降阶的二阶微分方程 305

习题6-3 308

§4 二阶线性微分方程解的结构 309

习题64 312

§5 二阶常系数线性齐次微分方程 313

习题6-5 316

§6 二阶常系数线性非齐次微分方程 317

6.1 f（x）=Pn（x）（Pn（x）是n次多项式）的情形 318

6.2 f（x）=Pn（x）eλx（Pn（x）是n次多项式，λ是常数）的情形 319

6.3 f（x）=acos ωx+bsin ωx（a,b,ω是常数）的情形 322

习题6-6 325

§7 微分方程的简单应用 326

习题6-7 330

本章要点 330

复习题六 332

第七章 向量代数与空间解析几何 334

§1 空间直角坐标系 334

1.1 空间直角坐标系 334

1.2 空间两点间的距离 336

习题7-1 338

§2 向量及其线性运算 338

2.1 向量的概念 338

2.2 向量的线性运算 340

2.3 向量的坐标表示法 343

习题7-2 350

§3 向量的数量积与向量积 351

3.1 向量的数量积 351

3.2 向量的向量积 354

习题7-3 357

§4 平面与空间直线 358

4.1 平面 358

4.2 空间直线 364

习题7-4 370

5.1 曲面与方程的概念 372

§5 曲面与空间曲线 372

5.2 几种常见的曲面 373

5.3 二次曲面 378

5.4 空间曲线 382

习题7-5 385

本章要点 388

复习题七 390

第八章 多元函数微分学 393

§1 多元函数 393

1.1 平面点集和区域 393

1.2 多元函数的定义 396

1.3 二元函数的几何表示 397

1.4 二元函数的极限 398

1.5 二元函数连续的概念 399

1.6 有界闭区域上的二元连续函数的性质 400

习题8-1 401

2.1 多元函数的偏导数 402

§2 偏导数 402

2.2 高阶偏导数 405

习题8-2 407

§3 全微分 408

3.1 全微分 408

3.2 全微分在近似计算中的应用 410

习题8-3 411

§4 多元复合函数与隐函数的微分法 412

4.1 多元复合函数的求导法则 412

4.2 隐函数的求导法 415

习题8-4 416

§5 偏导数的几何应用 417

5.1 空间曲线的切线和法平面 417

5.2 曲面的切平面和法线 419

§6 多元函数的极值和最值 421

习题8-5 421

6.1 多元函数的极值 422

6.2 多元函数的最值 424

6.3 条件极值、拉格朗日乘数法 426

习题8-6 428

本章要点 429

复习题八 433

第九章 二重积分 435

§1 二重积分的概念与性质 435

1.1 二重积分的概念 435

1.2 二重积分的几何意义 438

1.3 二重积分的性质 438

习题9-1 440

§2 二重积分的计算法 441

2.1 二重积分在直角坐标系下的计算法 441

2.2 二重积分在极坐标系下的计算法 449

习题9-2 453

§3 二重积分的应用 455

3.1 二重积分在几何上的应用 455

3.2 二重积分在物理上的应用 459

习题9-3 463

本章要点 464

复习题九 467

第十章 无穷级数 472

§1 常数项级数的基本概念及性质 472

1.1 常数项级数的基本概念 472

1.2 级数的基本性质 476

1.3 级数收敛的必要条件 479

习题10-1 479

§2 常数项级数的审敛法 481

2.1 正项级数 481

2.2 交错级数 486

2.3 绝对收敛与条件收敛 489

习题10-2 492

§3 幂级数 493

3.1 幂级数及其收敛性 495

3.2 幂级数的性质 499

3.3 函数展开成幂级数 501

3.4 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 506

习题10-3 508

§4 傅里叶级数 509

4.1 三角级数 509

4.2 傅里叶级数 510

4.3 奇函数和偶函数的傅里叶级数 515

习题10-4 517

本章要点 518

复习题十 519

附录1 高等数学实验指导（下） 523

附录2 习题与复习题参考答案 535