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目录 1

第8章 多元函数及其微分法 1

8.1 函数、极限、连续、偏导数 1

8.1.1 内容提要 1

1 函数的定义 1

2 二元函数的极限定义 1

6 高阶偏导数 2

5 偏导数的定义（以二元函数为例） 2

4 二元连续函数的性质 2

3 二元函数的连续定义 2

8.1.2 例题分析 3

1 函数概念中的一些问题、函数的符号运算 3

2 函数的定义域 6

3 有关二元函数极限中的一些问题 9

4 有关偏导数中的一些问题 13

5 求偏导数 17

1 全增量的定义 19

8.2 全微分及其在近似计算中的应用 19

8.2.1 内容提要 19

2 全微分的定义 20

3 可微的定义、近似计算公式 20

4 方向导数的定义 21

5 方向导数的计算公式 21

8.2.2 例题分析 21

1 偏导数与全微分的关系 21

2 求全微分 24

3 全微分在近似计算中的应用 24

4 方向导数 28

8.3 多元函数的微分法 30

8.3.1 内容提要 30

1 复合函数的微分法 30

2 隐函数的微分法 31

1 由具体函数所构成的复合函数的微分法 32

8.3.2 例题分析 32

2 由抽象函数所构成的复合函数的微分法 34

3 既有具体函数又有抽象函数所构成的复合函数的微分法 36

4 抽象函数的二阶偏导数 39

5 隐函数的微分法 41

8.4 曲面的切平面、空间曲线的切线 48

8.4.1 内容提要 48

1 曲面的切平面 48

2 空间曲线的切线 48

8.4.2 例题分析 49

1 空间曲线的切线与法平面方程 49

2 曲面的切平面与法线 52

8.5 极值 56

8.5.1 内容提要 56

1 极值定义 56

4 条件极值 57

3 极值点的充分条件 57

2 函数f极值点的必要条件 57

8.5.2 例题分析 58

1 有关极值概念中的一些问题 58

2 极值与最值 59

3 具有一个约束条件的条件极值问题 63

4 具有两个约束条件的条件极值问题 65

8.6 综合题、杂题 66

8.7 习题与答案 72

8.7.1 习题 72

8.7.2 答案 79

第9章 重积分 83

9.1 二重积分 83

9.1.1 内容提要 83

1 二重积分定义 83

2 二重积分性质 83

3 二重积分的计算方法——累次积分法 84

4 二重积分的几何意义 86

1 直角坐标中化二重积分为累次积分 87

9.1.2 例题分析 87

2 极坐标中化二重积分为累次积分 93

3 二重积分的计算 96

4 积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的利用 103

5 被积函数中绝对值的处理 107

6 二重积分的几何应用 108

7 二重积分中等式或不等式的证明 111

8 综合题 116

9.2 三重积分 120

9.2.1 内容提要 120

1 定义 120

2 计算方法 121

9.2.2 例题分析 122

1 在直角坐标下的定限及计算 122

3 几何意义 122

2 在直角坐标系中交换积分次序 123

3 在柱面坐标、球面坐标中的计算 127

4 积分区域对称性及被积函数奇偶性的利用 130

5 几何应用 133

6 证明题、综合题 135

9.3 重积分的物理应用 141

9.3.1 内容提要 141

1 质量 141

2 静力矩和质心 142

3 转动惯量 143

4 引力 143

9.3.2 例题分析 144

1 静力矩和质心 144

2 转动惯量 148

3 引力 151

9.4.1 习题 156

9.4 习题与答案 156

9.4.2 答案 162

第10章 曲线积分和曲面积分 166

10.1 曲线积分 166

10.1.1 内容提要 166

1 对弧长的曲线积分（第一型曲线积分） 166

2 对坐标的曲线积分（第二型曲线积分） 168

3 两类曲线积分之间的关系 170

10.1.2 例题分析 170

1 对弧长的曲线积分 170

2 对坐标的曲线积分 176

10.2 格林公式、积分与路径无关的充要条件 182

10.2.1 内容提要 182

1 格林公式 182

2 曲线积分与路径无关的等价条件 182

1 L是简单封闭曲线的情况 183

10.2.2 例题分析 183

2 L不是封闭曲线的情况 184

3 积分与路径无关 187

4 复连域的情况 190

5 综合题 195

10.3 曲面积分 200

10.3.1 内容提要 200

1 对曲面面积的曲面积分（第一型曲面积分） 200

2 对坐标的曲面积分（第二型曲面积分） 201

3 两类曲面积分的关系 203

10.3.2 例题分析 203

1 对面积的曲面积分 203

2 对坐标的曲面积分 214

10.4 高斯公式、斯托克斯公式及它们的应用 219

10.4.1 内容提要 219

1 高斯公式 219

2 斯托克斯公式 219

3 空间曲线积分与路径无关的条件 220

1 高斯公式及其应用 221

10.4.2 例题分析 221

2 斯托克斯公式及其应用 226

10.5 场论初步 232

10.5.1 内容提要 232

1 梯度 232

2 通量和散度 232

3 环流量和旋度 232

4 有势场和势函数 233

10.5.2 例题分析 233

1 方向导数和梯度 233

2 通量与散度 236

3 环流量与旋度 238

10.6 习题与答案 240

10.6.1 习题 240

10.6.2 答案 247

2 部分和概念，收敛、发散概念 250

1 无穷级数概念 250

3 级数收敛的必要条件 250

11.1 数项级数的基本概念 250

11.1.1 内容提要 250

第11章 级数 250

4 级数的基本性质 251

11.1.2 例题分析 251

1 利用级数的收敛性定义判断级数的收敛性 251

2 利用级数的性质判断级数的收敛性 254

11.2 同号级数收敛性的判别法 258

11.2.1 内容提要 258

1 定义 258

2 定理 258

3 正项级数收敛性的判别法 258

11.2.2 例题分析 259

1 利用比较法及其极限形式判断级数收敛性 259

2 利用达朗贝尔判别法、柯西判别法及柯西积分判别法判敛 262

3 证明题、杂题 267

11.3 交错级数与任意项级数 273

11.3.1 内容提要 273

1 定义 273

2 绝对收敛与条件收敛 273

3 莱布尼兹判别法 273

11.3.2 例题分析 273

1 交错级数收敛、条件收敛 273

与绝对收敛 273

2 综合题、杂题 283

11.4 函数项级数的一般概念 291

11.4.1 内容提要 291

1 定义 291

2 一致收敛概念 292

3 和函数的解析性质 292

11.4.2 例题分析 293

1 求函数项级数的收敛域 293

2 判别函数项级数的一致收敛性 297

11.5 幂级数的收敛半径、收敛域及和函数 301

11.5.1 内容提要 301

1 定义 301

2 阿贝尔定理 301

3 收敛区间 301

4 幂级数的运算性质 302

11.5.2 例题分析 302

1 求幂级数的收敛域 302

2 求幂级数的和函数 306

11.6 函数的幂级数展开式、幂级数的应用 314

11.6.1 内容提要 314

1 定义 314

2 性质 314

3 几个重要函数的麦克劳林级数 314

11.6.2 例题分析 315

1 将函数展开成幂级数 315

2 幂级数在近似计算中的应用 322

3 综合题、杂题 324

11.7 傅里叶级数 329

11.7.1 内容提要 329

1 定义 329

2 收敛定理——狄利克雷充分条件 330

11.7.2 例题分析 331

1 将f（x）在［－π，π］上展成傅里叶级数 331

2 将f（x）在［0，π］上展成正弦级数与余弦级数 335

3 将f（x）在［0，l］上展成傅里叶级数 340

11.8 习题与答案 344

11.8.1 习题 344

11.8.2 答案 352

1 常微分方程和偏微分方程 359

3 通解（通积分）和特解 359

2 解和隐式解 359

12.1 基本概念 359

第12章 常微分方程 359

12.1.1 内容提要 359

4 积分曲线和积分曲线族 360

12.1.2 例题分析 360

12.2 一阶微分方程及初等解法 368

12.2.1 内容提要 368

1 存在性及惟一性定理 368

2 可以用初等解法求解的一阶微分方程 368

1 类型（1）～（5）的一阶方程求解 372

12.2.2 例题分析 372

2 做适当变换求解一阶方程 382

3 一阶线性微分方程的解的定性理论 385

4 一阶微分方程的物理、几何应用 392

5 综合题、杂题 397

12.3 高阶微分方程 399

12.3.1 内容提要 399

1 存在性和惟一性定理 399

3 二阶线性方程的存在性和惟一性定理 400

2 3种最简单的高阶方程类型 400

4 二阶线性齐次方程的通解结构 401

5 二阶线性非齐次方程的通解结构 401

6 n阶线性方程的一般理论 401

12.3.2 例题分析 402

1 利用降阶法求解高阶微分方程 402

2 高阶方程的物理应用 405

3 如何求解二阶线性变系数微分方程 407

4 二阶线性微分方程解的定性理论 411

5 有关函数组的朗斯基行列式 414

6 综合题、杂题 417

12.4 常系数线性方程（组） 423

12.4.1 内容提要 423

1 一般形式 423

2 二阶常系数线性齐次方程 423

3 二阶常系数线性非齐次方程 424

5 常系数线性微分方程组 425

4 欧拉方程 425

12.4.2 例题分析 426

1 如何求常系数线性齐次方程的通解 426

2 如何求常系数线性非齐次方程的通解和特解 428

3 如何利用特征根反求微分方程 433

4 二阶常系数线性微分方程的物理应用 435

5 如何求解欧拉方程 440

6 如何求解微分方程组 443

7 综合题、杂题 447

12.5 习题与答案 453

12.5.1 习题 453

12.5.2 答案 472

自我检查题及解答 481

自我检查题（3） 481

自我检查题（3）解答 482

自我检查题（4） 491

自我检查题（4）解答 493