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第十一章 函数列与函数项级数 1

11.1 一致收敛性 1

一 函数列及其一致收敛性 1

二 函数项级数及其一致收敛性 7

思考题11.1 10

习题11.1 10

11.2 一致收敛的性质 12

思考题11.2 16

习题11.2 17

11.3 函数项级数一致收敛判别法 18

思考题11.3 22

习题11.3 23

总练习题 25

第十二章 幂级数 27

12.1 幂级数 27

一 幂级数的收敛域 27

二 幂级数的性质 33

思考题12.1 37

习题12.1 37

12.2 函数的幂级数展开 39

一 泰勒级数 39

二 初等函数的幂级数展开 43

三 幂级数在近似计算中的应用举例 48

思考题12.2 50

习题12.2 50

总练习题 51

第十三章 富里埃级数 53

13.1 富里埃级数 53

一 三角函数系的正交性 53

二 以2π为周期的函数的富里埃级数 54

三 奇偶函数的富里埃级数 60

四 以2l为周期的函数的富里埃级数 64

思考题13.1 67

习题13.1 68

13.2 富里埃级数的收敛性 69

一 收敛定理的证明 69

二 一致收敛性定理 77

思考题13.2 79

习题13.2 79

总练习题 80

第十四章 多元函数的极限与连续 83

14.1 平面点集 83

一 邻域与点列极限 84

二 开集闭集区域 85

思考题14.1 87

习题14.1 88

14.2 二元函数的极限 89

一 多元函数概念 89

二 二元函数极限 91

三 累次极限 94

思考题14.2 98

习题14.2 98

14.3 二元函数的连续性 99

一 二元函数的连续概念 99

二 有界闭域上连续函数的性质 101

思考题14.3 103

习题14.3 103

总练习题 104

第十五章 多元函数微分法 106

15.1 偏导数和全微分 106

一 偏导数 106

二 全微分 110

三 全微分在近似计算中的应用 114

四 高阶偏导数 115

思考题15.1 118

习题15.1 119

15.2 复合函数微分法 121

一 复合函数求导法则 121

二 复合函数全微分 128

思考题15.2 130

习题15.2 130

15.3 隐函数微分法 132

一 隐函数概念 132

二 一个方程的情况 133

三 方程组的情况 135

四 反函数组与坐标变换 139

思考题15.3 142

习题15.3 142

15.4 几何应用 143

一 平面曲线的切线与法线 143

二 空间曲线的切线与法平面 144

三 曲面的切平面与法线 147

习题15.4 152

15.5 方向导数和梯度 154

一 方向导数 154

二 梯度 158

思考题15.5 159

习题15.5 160

15.6 泰勒公式与极值问题 161

一 泰勒公式 161

二 多元函数极值 164

三 条件极值 170

思考题15.6 176

习题15.6 177

总练习题 178

第十六章 重积分 180

16.1 二重积分 180

一 二重积分的概念与性质 180

二 二重积分的计算 184

思考题16.1 198

习题16.1 199

16.2 三重积分 202

一 三重积分的概念 202

二 三重积分的计算 203

思考题16.2 212

习题16.2 213

16.3 重积分的应用 215

一 曲面的面积 215

二 重心 219

三 转动惯量 221

四 引力 223

习题16.3 225

总练习题 226

第十七章 曲线积分与曲面积分 229

17.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 229

一 第一型曲线积分的概念 229

二 第一型曲线积分的计算 231

三 第一型曲面积分 236

思考题17.1 238

习题17.1 239

17.2 第二型曲线积分 241

一 第二型曲线积分的概念 241

二 第二型曲线积分的计算 244

三 两类曲线积分的联系 248

四 格林公式 250

五 曲线积分与路线无关的条件 256

思考题17.2 264

习题17.2 264

17.3 第二型曲面积分 267

一 曲面的侧的概念 267

二 第二型曲面积分的概念 270

三 两类曲面积分的联系 273

四 第二型曲面积分的计算 275

五 高斯(Gauss)公式 282

六 斯托克斯公式 287

思考题17.3 293

习题17.3 293

总练习题 295

第十八章 含参变量的积分 297

18.1 含参变量的常义积分 297

一 含参变量积分的性质 297

二 应用举例 302

思考题18.1 305

习题18.1 305

18.2 含参变量的广义积分 307

一 一致收敛的定义 307

二 一致收敛的判别法 309

三 含参变量广义积分的性质 313

四 Г函数与B函数 319

思考题18.2 324

习题18.2 325

总练习题 326

第十九章 极限的分析定义(续) 329

19.1 历史概述 329

19.2 数列极限的分析定义(续) 334

一 数列极限ε-N定义的逻辑分析 334

二 利用ε-N说法证明极限的方法 336

思考题19.2 339

习题19.2 340

19.3 函数极限的分析定义(续) 341

一 函数极限ε-δ定义的逻辑分析 341

二 利用ε-δ说法证明极限的方法 342

三 函数的其它极限定义 345

四 利用定义证明非正常极限举例 347

思考题19.3 348

习题19.3 348

19.4 极限定义的否定叙述 349

一 有界的否定定义 349

二 数列极限的ε-N否定说法 351

三 柯西数列的否定说法 353

四 函数极限的ε-δ否定说法 354

五 非一致连续的分析定义 358

六 非一致收敛的分析定义 360

思考题19.4 361

习题19.4 362

总练习题 364

第二十章 实数完备性理论 365

20.1 概述 365

一 历史概述 365

二 实数完备性概述 369

思考题20.1 374

习题20.1 375

20.2 实数完备性基本定理 376

一 寻找一个具有某性质P的点(数) 376

二 由某一已知的局部性质去证明某一整体性质P 379

思考题20.2 380

习题20.2 380

20.3 可积性理论 380

一 可积条件 380

二 不可积的分析定义 394

思考题20.3 396

习题20.3 397

20.4 利用闭区间套定理证题的规律 398

一 寻找一个具有某种性质P的点(数) 398

二 由某一已知的局部性质去证明某一整体性质P 402

思考题20.4 403

习题20.4 403

20.5 利用有限覆盖定理证题的规律 404

一 将每点邻域中的局部性质扩充到整个区间上 404

二 寻找一个具有某一性质P的点(数) 406

思考题20.5 408

习题20.5 408

20.6 利用确界定理证题的规律 409

一 寻找一个具有某种性质P的点(数) 409

二 证明［a,b］上具有某种整体性质P 411

思考题20.6 411

习题20.6 412

20.7 利用聚点定理证题的规律 412

一 寻找一个具有某种性质P的点(数) 412

二 证明［a,b］上具有某种整体性质P 414

思考题20.7 415

习题20.7 416

20.8 利用单调有界定理证题的规律 416

一 寻找一个具有某种性质P的点(数) 416

二 证明［a,b］上具有某种整体性质P 418

习题20.8 419

20.9 利用柯西收敛准则证题的规律 419

一 寻找一个具有某种性质P的点 419

二 证明［a,b］上具有某种整体性质P 422

思考题20.9 423

习题20.9 424

总练习题 424

后记 426