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绪论 1

第一章 函数与极限 10

1 实数 10

1.有理数与无理数 10

2.实数集合R的基本性质 11

3.数轴与区间 13

4.绝对值不等式 14

习题1.1 16

1.函数的定义 17

2 变量与函数 17

2.初等函数 19

3.有界函数 22

习题1.2 25

3 序列极限 26

1.序列极限的定义 27

2.夹逼定理 30

3.极限不等式 32

4.极限的四则运算 33

5.一个重要极限 37

习题1.3 39

1.单侧极限 40

4 函数的极限 40

2.双侧极限 42

3.关于函数极限的定理 44

4.自变量趋于无穷时函数的极限 47

5.无穷大量 50

习题1.4 51

5 连续函数 52

1.连续性的定义 52

2.复合函数的连续性 54

3.反函数的连续性 56

4.间断点的分类 57

习题1.5 58

6 闭区间上连续函数的性质 59

习题1.6 62

附录 62

第一章总练习题 66

第二章 微积分的基本概念 69

1 微商的概念 69

1.微商的定义 69

2.微商的四则运算 76

习题2.1 77

2 复合函数的微商与反函数的微商 79

习题2.2 86

1.无穷小量的概念 88

3 无穷小量与微分 88

2.微分的概念 89

4 一阶微分的形式不变性 93

5 微分与近似计算 96

习题2.3 97

6 高阶导数与高阶微分 98

习题2.4 101

7 不定积分 102

1.定积分的概念 106

习题2.5 106

8 定积分 106

2.定积分的性质 110

习题2.6 113

9 变上限定积分 114

习题2.7 117

10 微积分基本定理 118

习题2.8 122

第二章总练习题 123

1 不定积分的换元法 125

1.不定积分第一换元法 125

第三章 积分的计算 125

2.不定积分的第二换元法 128

习题3.1 131

2 分部积分法 132

习题3.2 136

3 有理式的不定积分与有理化方法 136

1.有理式的不定积分 136

2.三角函数有理式的不定积分 141

3.某些根式的不定积分 144

习题3.3 145

1.定积分的分部积分公式 146

4 定积分的分部积分法则与换元积分法则 146

2.定积分的换元积分法则 148

3.偶函数、奇函数及周期函数的定积分 151

习题3.4 154

5 定积分的若干应用 155

1.曲线弧长的计算 156

2.旋转体的体积 159

3.旋转体的侧面积 161

4.曲线弧的质心与转动惯量 163

5.平面极坐标下图形的面积 165

习题3.5 166

1.矩形法 168

6 定积分的近似计算 168

2.梯形法 169

3.辛普森法 171

习题3.6 173

第三章总练习题 173

第四章 微分中值定理与泰勒公式 178

1 微分中值定理 178

习题4.1 182

2 柯西中值定理与洛必达法则 183

习题4.2 189

3 泰勒公式 190

4 关于泰勒公式的余项 198

习题4.3 202

5 极值问题 202

习题4.4 209

6 函数的凸凹性与函数作图 210

1.函数的凸凹性 210

2.函数作图 212

习题4.5 215

7 曲线的曲率 215

第四章总练习题 218

习题4.6 218

第五章 向量代数与空间解析几何 221

1 向量代数 221

习题5.1 224

2 向量的空间坐标 225

习题5.2 231

3 空间中平面与直线的方程 232

1.平面的方程 232

2.直线方程 237

习题5.3 240

4 二次曲面 242

习题5.4 249

5 空间曲线的切线与弧长 250

习题5.5 254

第五章总练习题 255

第六章 多元函数微分学 257

1 多元函数 257

1.多元函数的概念 257

2.Rn中的集合到Rm的映射 260

3.Rn中的拓扑 261

习题6.1 264

1.二元函数的极限概念 265

2 多元函数的极限 265

2.二元函数的极限运算法则与基本性质 269

3.累次极限与全面极限 271

习题6.2 272

3 多元函数的连续性 273

1.多元函数连续性的定义 273

2.关于二元函数连续性的几个定理 275

3.映射的连续性 275

4.有界闭区域上连续函数的性质 276

习题6.3 277

4 偏导数与全微分 278

1.一阶偏导数的定义 278

2.高阶偏导数 281

3.全微分 284

习题6.4 288

5 复合函数与隐函数的微分法 290

1.复合函数微分法 290

2.一阶全微分形式的不变性 295

3.高阶微分 296

习题6.5 297

1.方向导数 298

6 方向导数与梯度 298

2.梯度 301

习题6.6 303

7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式 304

1.二元函数的微分中值定理 304

2.二元函数的泰勒公式 305

习题6.7 308

8 隐函数存在定理 309

1.一个方程的情况 310

2.方程组的情况 315

3.逆映射的存在性定理 318

习题6.8 321

9 极值问题 322

1.多元函数极值问题 322

2.多元函数的最值问题 327

3.条件极值 328

习题6.9 333

10 曲面论初步 333

1.曲面的基本概念 333

2.曲面的切平面与法向量 336

习题6.10 339

第六章总练习题 339

习题答案与提示 344