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复变函数 3

第1章 复数和平面点集 3

1.1 复数 3

1.1.1 复数集 3

1.1.2 共轭复数 5

1.1.3 关于复数模的不等式 7

1.1.4 复数的几何表示 8

1.1.5 复数的乘方和开方 14

1.2 复数序列的极限、无穷远点 15

1.3 平面点集 17

1.3.1 基本概念 17

1.3.2 区域与曲线 18

习题 20

第2章 复变数函数 24

2.1 复变数函数 24

2.2 函数的极限和连续性 27

2.3 导数和解析函数的概念 29

2.4 柯西-黎曼方程 32

2.5 初等函数 35

2.5.1 指数函数 35

2.5.2 三角函数和双曲函数 36

2.5.3 对数函数 39

2.5.4 一般幂函数 41

2.5.5 反三角函数 43

习题 45

第3章 解析函数的积分表示 48

3.1 复变函数的积分 48

3.1.1 定义和计算方法 48

3.1.2 长大不等式 52

3.2 柯西积分定理 54

3.3 柯西积分公式 57

3.4 原函数 62

3.5 解析函数与调和函数的关系 64

3.6 平面场 68

习题 74

第4章 解析函数的级数表示 78

4.1 幂级数 78

4.1.1 复数项级数 78

4.1.2 幂级数及其收敛圆 80

4.2 解析函数的泰勒展开 82

4.3 解析函数的罗朗展开 87

4.3.1 罗朗级数和罗朗定理 87

4.3.2 解析函数在孤立奇点的罗朗展开 92

4.4 孤立奇点的分类 96

4.4.1 函数在有限孤立奇点附近的性状 96

4.4.2 函数在无穷远点附近的性状 102

习题 103

第5章 留数及其应用 108

5.1 留数定理 108

5.2 定积分的计算 112

5.2.1 I＝∫2xR(sinθ，cosθ)dθ型的积分 113

5.2.2 三条引理 115

5.2.3 有理函数的积分 118

5.2.4 I1＝∫+∞-∞R(x)cosmxdx及I2=+∞-∞R(x)sinmxdx(m＞0)型的积分 120

5.2.5 杂例 121

5.2.6 多值函数的积分 127

5.3 辐角原理 132

习题 138

6.1.1 导数的几何意义 142

6.1 保形变换的概念 142

第6章 保形变换 142

6.1.2 保形变换的概念 144

6.2 分式线性变换 146

6.3 初等函数的映照 154

6.3.1 幂函数和根式函数 154

6.3.2 指数函数和对数函数 158

6.3.3 儒可夫斯基变换 160

6.4 用保形变换求平面场的复势 164

习题 166

第7章 拉普拉斯变换 169

7.1 拉普拉斯变换的定义 169

7.2 拉普拉斯变换的基本运算法则 172

7.3 拉普拉斯变换的反演公式 184

附表7.1 拉普拉斯变换基本法则表 191

附表7.2 拉普拉斯变换表 192

习题 197

数学物理方程 205

第1章 数学物理中的偏微分方程 205

1.1 偏微分方程的一些基本概念 205

1.2 三个典型方程及其物理背景 209

1.2.1 理想弦的横振动方程 210

1.2.2 热传导方程 212

1.2.3 扩散方程 215

1.2.4 静电场的场势方程 215

1.2.5 自由电磁波方程 216

1.3 定解条件和定解问题 217

1.3.1 初始条件和初始问题 218

1.3.2 边界条件和边值问题 219

1.3.3 混合问题 221

1.3.4 定解问题的适定性概念 224

1.4 关于定解问题的解法 225

1.4.1 达朗贝尔公式 225

1.4.2 广义解 227

1.5.1 叠加原理 228

1.5 叠加原理和齐次化原理 228

1.5.2 齐次化原理 231

习题 234

第2章 分离变量法 237

2.1 有界弦的自由振动 237

2.2 极坐标系下△2u＝0的边值问题 242

2.3 固有值问题的斯图模-刘维尔理论 245

2.4 非齐次情形 259

2.4.1 边界条件是齐次的非齐次发展方程的混合问题 259

2.4.2 一般非齐次混合问题 263

2.4.3 泊松方程的边值问题 266

习题 268

第3章 特殊函数 272

3.1 贝塞尔函数 272

3.2 贝塞尔函数的性质 277

3.2.1 母函数和积分表示 277

3.2.2 微分关系和递推公式 278

3.2.3 渐近公式、衰减振荡性和零点 283

3.3 贝塞尔方程的固有值问题 285

3.4 勒让德方程的固有值问题 292

3.5 勒让德多项式的母函数和递推公式 296

3.6 函数的富里叶-勒让德展开 299

习题 305

第4章 积分变换方法 310

4.1 用富里叶变换解题 310

4.1.1 富里叶变换 310

4.1.2 解题举例 312

4.2 用拉普拉斯变换解题 317

习题 323

第5章 基本解和解的积分表达式 325

5.1 δ函数 325

5.2 场势方程的边值问题 334

5.2.1 Lu＝0型方程的基本解 334

5.2.2 格林函数及其物理意义 336

5.2.3 用镜像法求格林函数 341

5.2.4 二维情形 346

5.3 ut=Lu型方程柯西问题的基本解 352

5.4 utt=Lu型方程柯西问题的基本解 357

5.4.1 柯西问题解的积分表示 357

5.4.2 降维法 362

5.4.3 自由波的传播 365

5.4.4 推迟势公式 371

习题 372

习题答案 375