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第一篇 分析引论 1

第一章 函数 1

1.1 集合 1

1.2 实数集——一维点集 4

1.3 函数 6

习题一 10

第二章 数列的极限 12

2.1 数列及其变化趋势 12

2.2 数列极限概念 13

2.3 数列极限的性质 16

2.4 数列极限的四则运算 18

2.5 数列收敛的判别法 20

习题二 24

第三章 函数的极限 26

3.1 函数极限概念 26

3.2 函数极限的性质与运算法则 28

3.3 函数极限存在的判别法 32

3.4 无穷小与无穷大 35

习题三 38

第四章 连续函数 40

4.1 函数的连续性与间断点 40

4.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 43

4.3 闭区间上连续函数的性质 45

习题四 47

第二篇 一元函数微积分 49

第五章 导数与微分 49

5.1 导数 49

5.2 求导法则 54

5.3 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 60

5.4 微分 62

5.5 高阶导数与微分 65

习题五 67

第六章 微分中值定理及微分学的应用 70

6.1 微分中值定理 70

6.2 罗必塔(L′Hospital)法则 74

6.3 泰勒(Taylor)公式 78

6.4 函数的增减性与极值 82

6.5 凸函数 87

6.6 平面曲线的曲率 89

习题六 94

第七章 积分 98

7.1 定积分概念 98

7.2 定积分的性质及中值定理 104

7.3 微积分学基本定理 107

7.4 不定积分 110

7.5 积分的计算 114

7.6 积分表的查法 118

7.7 广义积分 120

7.8 定积分应用举例 127

习题七 131

第三篇 向量代数与空间解析几何 136

第八章 向量代数 136

8.1 n 维空间 136

8.2 向量 139

8.3 向量的数量积 144

8.4 向量的向量积 146

习题八 148

第九章 空间解析几何 150

9.1 曲面与空间曲线 150

9.2 平面的方程 151

9.3 空间直线的方程 154

9.4 几种常见的曲面 157

9.5 空间曲线的参数方程 投影柱面 161

习题九 163

第四篇 多元函数微积分 164

第十章 多元函数的微分法 164

10.1 多元函数的极限与连续 164

10.2 偏导数与全微分 168

10.3 复合函数的微分法 174

10.4 隐函数的微分法 177

10.5 微分法在几何上的简单应用 180

10.6 向量值函数及其微分法 183

10.7 方向导数与梯度 186

10.8 泰勒公式 188

习题十 190

第十一章 重积分与第一类线、面积分 193

11.1 几何形体上的积分 193

11.2 二重积分的计算 196

11.3 三重积分的计算 202

11.4 第一类曲线积分的计算 204

11.5 第一类曲面积分的计算 205

11.6 含参变量的积分 208

习题十一 211

第十二章 第二类线、面积分及各种积分之间的关系 214

12.1 第二类曲线积分 214

12.2 第二类曲面积分 217

12.3 各种积分之间的关系 222

12.4 曲线积分与路径无关的问题 227

习题十二 230

第五篇 无穷级数 232

第十三章 数项级数 232

13.1 数项级数的概念和性质 232

13.2 数项级数收敛性的判别 235

13.3 级数的运算 240

习题十三 241

第十四章 幂级数 242

14.1 函数项级数的收敛性和一致收敛性 242

14.2 幂级数 244

14.3 函数展开成幂级数 247

14.4 幂级数的应用 250

习题十四 251

第十五章 傅立叶级数 253

15.1 三角函数系的正交性 253

15.2 以2π为周期的函数的傅立叶级数 254

15.3 以2l 为周期的函数的傅立叶级数 258

习题十五 261

第六篇 微分方程 263

第十六章 常微分方程的实例及基本概念 263

16.1 引入常微分方程的典型问题 263

16.2 基本概念 266

习题十六 268

第十七章 线性方程及线性方程组 270

17.1 一阶线性方程 270

17.2 线性方程及线性方程组的通解结构 272

17.3 高阶常系数线性方程 276

17.4 常系数线性方程组 281

17.5 变系数线性方程 286

习题十七 290

第十八章 非线性方程及非线性方程组 293

18.1 一阶非线性方程的解法 293

18.2 高阶方程的解法 297

18.3 方程组的解法 299

18.4 一阶线性偏微分方程简介 300

习题十八 302

第七篇 数值计算方法 304

第十九章 误差知识 304

19.1 误差的基本知识 304

19.2 利用泰勒公式估计误差 305

19.3 算法稳定性问题 305

习题十九 306

第二十章 代数插值 308

20.1 拉格朗日插值公式 308

20.2 插值余项 309

20.3 分段插值 310

20.4 三次样条插值 311

习题二十 313

第二十一章 数值微分与数值积分 315

21.1 数值微分 315

21.2 数值积分 315

习题二十一 319

第二十二章 常微分方程初值问题的数值解法 321

22.1 建立数值方法的基本思想与途径 321

22.2 龙格—库塔方法 324

习题二十二 326

第八篇 最优化方法 328

第二十三章 最优化问题 328

23.1 模型举例 328

23.2 非线性规划的一般形式和有关概念 331

23.3 最优性条件 332

23.4 凸集、凸函数和凸规划的最优性条件 337

习题二十三 340

第二十四章 无约束最优化方法 343

24.1 一维搜索 343

24.2 最速下降法和共轭梯度法 346

24.3 牛顿法和拟牛顿法(变尺度法) 349

24.4 信赖域法 352

习题二十四 353

第二十五章 约束最优化方法 355

25.1 梯度投影法、既约梯度法 355

25.2 惩罚函数法 362

25.3 复形法 369

习题二十五 370

第二十六章 多目标最优化基本方法 372

26.1 模型举例 372

26.2 解的概念与性质 373

26.3 评价函数法 374

习题二十六 375

上机练习题 377

习题答案 380

附录 积分表 401