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绪论 1

第一章 初步知识与预备知识 4

1 平面曲线 4

1. 曲线的确定法。简单曲线段 4

序言 7

2. 奇异点 8

3. 渐近线 11

4. 曲线族的包络 15

5. 曲率 18

6. 密切圆 20

2 空间曲线 22

1. 曲线的确定法。简单曲线段 22

2. 空间曲线的切线。法平面 25

3 曲面 27

1. 曲面的确定法。简单曲面块 27

2. 曲面的切平面。曲面法线 29

4 向量函数 32

1. 向量函数的微分法 32

2. 高阶导数。向量函数的戴劳定理 35

3. 向量函数的几个常用的性质 36

5 微分几何的方法与内容 38

1. 运动不变量 38

2. 接触概念。两条平面曲线构成n阶接触的条件 40

第一章复习提纲及总习题 43

2. 密切平面 46

1. 切线与法平面 46

第二章 曲线论 46

6 空间曲线的伴随三面形 46

3. 伴随三面形 49

7 空间曲线的基本不变量 50

1. 弧长。自然参数 50

2. 曲率 55

3. 挠率 57

8 曲线论的基本公式与自然方程 61

1. 伏雷纳公式 61

2. 标准展开式。曲线在每个正常点邻近的结构 62

3. 基本定理与自然方程 65

4. 平面曲线的自然方程的积分法 69

5. 平面曲线的渐屈线与渐伸线 72

1. 一般螺旋线 76

9 特殊类型的曲线 76

2. 贝尔脱朗曲线 78

10 从运动学的观点研究曲线 81

1. 伴随三面形的运动 81

2. 曲率、挠率和伏雷纳公式的运动学定义 83

3. 采柴罗的不动条件 85

11 可展曲面 88

1 单参数曲面族的包络 88

2 单参数平面族的包络 91

3 空间曲线的渐伸线与渐屈线 98

4 空间曲线的密切球面与密切圆 101

第二章复习提纲及总习题 105

12 曲面的参数表示。切平面与曲面法线 109

1. 曲面的参数表示 109

第三章 曲面论 109

2. 曲面的坐标曲线 111

3. 曲面上的曲线 112

4. 曲线坐标的变换。曲面的正侧 114

5. 曲面的奇异点 116

13 第一基本形式。曲面的内在性质 117

1. 曲面的线素。第一基本形式 117

2. 两条曲面曲线的交角 123

3. 曲面的面积 125

4. 曲面的变形。曲面的内在性质 128

5. 保角映射 131

14 第二基本形式。曲面的外在性质 137

1. 第二基本形式 137

2. 曲面曲线的曲率 140

3. 杜班标形。欧拉公式 143

4. 主曲率与主方向的确定 147

5. 平均曲率与总曲率 148

6. 曲面在每个点邻近的结构 149

7. 球面表示 152

8. 曲率线 156

9. 第三基本形式 158

10. 渐近曲线 161

11. 共轭曲线 162

12. 三重正交曲面族 168

15 曲面论的基本公式与基本方程 174

1. 曲面论的基本公式 174

2. 高斯方程及彼得松-柯达齐方程 178

3. 曲面论的基本定理 182

16 曲面的内在几何 188

1. 曲面曲线的测地曲率 188

2. 测地线 192

3. 测地坐标 196

4. 短程线 201

5. 高斯-波恩涅公式 205

6. 常曲率的曲面 209

7. 伪球面上的罗巴契夫斯基几何 211

第三章复习提纲及总习题 217

第四章 补充知识 222

17 卵形线 222

18 测地映射 227

1. 曲面上的向量及其平行移动 230

19 勒维-其维塔的平行移动 230

2. 平行移动的性质 233

3. 向量沿封闭道路的平行移动 235

20 测地挠率 239

1. 测地线的挠率 239

2. 曲面曲线的测地挠率 241

3. 曲面曲线的三面形 243

21 直纹曲面 246

22 极小曲面 252

23 张量分析 260

1. 坐标变换。和式的记号 260

2. 张量的定义及其代数运算 262

3. 张量记号 266

4. 协变微分法 271

5. 曲面论的基本定理的证明 273