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序言 1

第一篇 平面解析几何补充 1

第一章 向量与平面坐标系 1

1 向量 1

1. 向量的概念 1

2. 向量的加法和减法 3

3. 数乘向量 4

4. 两个向量的数量积 6

习题1.1 8

2 向量及其运算的坐标表示 9

1. 直线上的向量与坐标法 9

2. 平面上的向量与坐标法 11

3. 向量运算的坐标表示 13

4. 几个最简单的问题 14

习题1.2 18

第二章 直线与二次曲线 19

3 在仿射坐标系下的直线方程 19

1. 点向式的直线方程 19

2. 二点式的直线方程、参数式方程及截距式方程 20

习题2.1 22

3. 一般形式的直线方程 22

习题2.2 24

4. 点与直线的相关位置 24

5. 二直线间的相关位置 25

4 直线束 28

习题2.3 28

习题2.4 30

5 平面上的坐标变换 31

1. 原点的变换 31

2. 坐标向量的变换 33

3. 一般的坐标变换 35

习题2.5 35

6 椭圆、双曲线、抛物线的共同性质 36

1. 焦点和准线的性质 36

2. 光学性质 39

3. 圆锥截线 39

4. 二次曲线的直径 40

7 二次曲线的切线和法线 44

习题2.6 44

习题2.7 48

8 平面上的正交变换 49

1. 正交变换 49

2. 正交变换的基本性质 52

习题2.8 55

9 平面上的仿射变换 55

1. 仿射坐标 55

2. 仿射变换 56

3. 仿射变换的基本性质 56

习题2.9 61

10 二次曲线的分类 61

1. 在直角坐标系下，二次曲线的分类 61

2. 在仿射坐标系下，二次曲线的分类 65

11 二次曲线的一般性质 67

1. 二次曲线与直线的交点、渐近方向和渐近线 68

习题2.10 71

2. 二次曲线的切线和奇点 71

3. 中心 73

4. 直径 75

5. 主方向、主直径 77

习题2.11 79

12 利用不变量来判定二次曲线的类型 79

1. 二元二次型(形式)的变换 79

2. 二次曲线的不变量和半不变量 80

3. 二次曲线方程的化简和分类 83

第一篇 复习提纲和总习题 90

习题2.12 90

第二篇 空间解析几何 95

第三章 向量和空间坐标系 95

13 空间中的向量与坐标法 95

1. 向量的坐标 95

2. 空间坐标系 96

3. 向量的向量积及其运算法则 99

4. 向量的混合积 104

5. 几个重要的恒等式 106

6. 几个最简单的问题 107

习题3.1 108

14 曲面和空间曲线的表示 109

1. 曲面与方程 109

2. 空间曲线的方程 114

3. 球面坐标与柱面坐标 115

习题3.2 117

15 空间中的坐标变换 117

1. 原点的变换 117

2. 坐标向量的变换 119

3. 空间直角坐标系的变换 120

习题3.3 121

4. 欧拉角 121

5. 空间中的正交变换与仿射变换 122

习题3.4 125

第四章 空间中的直线与平面 126

16 在仿射坐标系下，空间直线的方程 126

1. 平面的方程 127

17 在仿射坐标系下，平面的方程 127

2. 平面关于坐标系的位置 130

18 直线与平面的相关位置 131

1. 空间直线与平面的相交和平行 131

2. 空间直线的一般方程 132

3. 两条直线平行与共面的条件 133

19 平面的法线式方程、一点到一个平面的距离 134

习题4.1 137

20 直线与平面 138

1. 二平面间的交角、垂直和平行的条件 138

2. 直线与平面的交角、平行和垂直的条件 138

3. 二直线间的交角和垂直的条件 140

习题4.2 140

1. 一点到一直线的距离 141

2. 二不共面直线间的最短距离 141

21 空间的点到直线的距离、二不共面直线间的距离 141

习题4.3 143

22 平面的线性组 144

1. 矩阵及其秩 144

2. 平面的线性组 146

习题4.4 154

第五章 二次曲面 156

23 椭球面 157

习题5.1 159

24 双曲面 159

习题5.2 161

25 抛物面 162

习题5.3 165

26 二次锥面与二次柱面 166

习题5.4 168

27 二次直纹面 168

习题5.5 171

28 二次曲面的分类及其一般性质 172

1. 二次曲面与直线的交点、渐近方向 173

2. 二次曲面的切面和法线 175

3. 曲面的直径平面与中心 176

4. 按渐近方向分类二次曲面 179

习题5.6 180

5. 二次曲面的奇异方向、共轭方向与共轭直径 180

6. 曲面的主平面 183

习题5.7 183

习题5.8 185

29 二次曲面的分类 185

1. 在直角坐标系下，二次曲面的分类 185

习题5.9 190

2. 在仿射坐标系下，二次曲面的分类 190

30 利用不变量来判定二次曲面的类型 193

1. 二次型的变换 193

习题5.10 195

2. 二次曲面的不变量和半不变量 196

习题5.11 198

3. 二次曲面方程的化简和分类 199

第二篇 复习提纲与总习题 204

31 射影变换的起源及射影几何的产生和发展 210

第三篇 射影解析几何概要 210

第六章 一维射影解析几何 210

32 一维基本形式的齐次笛氏坐标和射影坐标 214

1. 直线上点的齐次笛氏坐标和射影坐标 214

习题6.1 217

2. 射影坐标变换 217

习题6.2 218

3. 线束中直线的坐标 218

4. 面束中平面的坐标 220

33 一维射影变换 221

34 交比 223

习题6.3 229

35 透视对应 230

36 射影变换的固定元素和它的特征不变量 232

习题6.4 232

37 对合 234

习题6.5 237

第七章 二维射影解析几何 238

38 平面上点的齐次笛氏坐标 238

习题7.1 241

39 圆点 241

40 平面上的直线坐标 244

41 平面上的射影坐标 245

习题7.2 249

42 平面上的对偶原则 250

43 平面上射影坐标变换 254

1. 射影变换及其基本定理 255

44 平面上的射影变换、仿射变换和度量变换 255

2. 仿射变换 259

3. 度量变换 261

习题7.3 262

45 射影坐标的应用 263

1. 完全四点形与完全四边形 263

2. 德沙格定理与巴普斯定理 265

习题7.4 266

46 二次曲线的射影几何、仿射几何和度量几何 267

1. 二次曲线及其切线 267

2. 二阶曲线 271

3. 配极论 273

4. 二次曲线的射影分类 276

5. 二次曲线的仿射几何 278

习题7.5 278

6. 二次曲线的度量几何 281

习题7.6 283

47 射影形式与二次曲线 284

1. 二次(二阶)曲线的射影作图法 284

2. 由五点(直线)确定二次(二阶)曲线的作图法 286

3. 巴斯加定理和布里安松定理 287

习题7.7 289

48 变换群、几何分类 289

1. 变换及其性质 290

2. 变换群 291

3. 抽象群 292

4. 几何分类 293

1. 非欧几何的发现 294

习题7.8 294

49 非欧几何导引 294

2. 第五公设问题的解答 296

3. 双曲运动群与椭圆运动群 296

4. 射影测度 297

50 几何公理系统简介 304

1. 公理系统的三个基本问题 305

2. 双曲几何与欧氏几何的关系 306

第三篇 复习提纲与总习题 310

附录 平面解析几何复习 314

1 平面坐标系与坐标变换 314

2 几个简单的问题与公式 316

3 直线的方程以及点与直线的相互位置 318

4 二次曲线 322