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目录 1

第一篇 复变函数论 1

第一章 复数与解析函数的基本概念 1

§1复数及其运算 1

§2复变数函数及其定义域 4

§3复变函数的极限和导数 8

§4初等解析函数 13

习题 16

第二章 复变函数的积分 18

§1柯西积分定理 18

§2柯西积分公式 22

习题 29

第三章 无穷级数 31

§1复数级数 31

§2函数级数 32

§3幂级数 36

§4泰勒（Tavlor）级数 39

§5解析函数的罗朗（Laurent）展开 44

§6单值函数的孤立奇点 50

§7解析函数在无穷远点的性质 55

习题 56

第四章 多值函数与解析延拓 61

§1根式函数ω=？ 61

§2对数函数ω=Ln2 69

§3解析延拓和黎曼（Riemamm）面 71

习题 76

第五章 留数理论 77

§1留数定理和留数的计算 77

§2留数理论对计算定积分的应用 82

＊＊§3杂例 97

习题 101

第六章 Г函数与B函数 104

§1Г函数 104

§2B函数 107

习题 110

＊第七章 保角映射（Conformalmapping） 111

§1保角映射的基本概念 111

§2整线性变换ω=az+b（a,b为复常数） 113

§3倒径ω=？（z≠0） 115

§4分式线性变换ω=？（ad≠bc） 116

§5幂函数ω=zn（非单叶） 121

§6指数函数ω=ez（非单叶） 122

＊＊§7希瓦兹-克里史多夫变换（多角形变换） 126

习题 129

§1波动方程 135

第二篇 数学物理方程 135

第八章 数学物理方程的导出和分类 135

§2热传导方程 137

§3泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程 138

§4定解条件 140

§5二元二阶线性偏微分方程的分类 143

＊§6常系数线性方程的化简 151

习题 152

第九章 波动方程的解 154

§1无界弦的自由振动达朗伯（d′Alembert）解 154

§2有界弦的自由振动 157

§3非齐次边界条件的齐次化 162

§4有界弦的强迫振动 164

§5δ函数 166

＊§6冲量法 170

§7矩形薄膜的自由振动 175

＊＊§8三维无界空间的自由振动平均值法 177

＊＊§9降维法 180

＊＊§10推迟势 182

习题 185

第十章 热传导方程的解 188

§1有界杆无热源的导热问题 188

§2有界杆有热源的导热问题 191

§3无界杆无热源的导热问题 195

＊§4半无界杆无热源的导热问题 197

＊§5地球表面层的温度无初值问题 199

＊§6热传导方程的第三边值问题的解 200

习题 203

§1椭圆型方程的边值问题三类方程小结 205

第十一章 椭圆型方程与特殊函数 205

§2拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标中的表示 207

§3平面区域的调和函数 211

§4特殊函数微分方程的出现 215

§5二阶线性常微分方程的级数解 220

§6斯托姆-刘维（Slurm-Lionville）型本征值问题 221

§7贝塞耳方程的解 224

§8贝塞耳函数的性质 230

§9勒让德方程的解 245

§10勒让德多项式的性质 251

§11缔合勒让德方程的解和球谐函数 259

＊§12用格林公式解泊松方程和拉普拉斯方程 263

习题 275

第十二章 近似法简介 278

§1傅里叶变换的定义 282

＊第十三章 傅里叶变换与拉普拉斯变换 282

第三篇 积分变换 282

§2傅里叶变换的性质 286

§3拉普拉斯变换的定义 291

§4拉普拉斯变换的性质 294

§5卷积 301

§6拉普拉斯变换的反演（逆变换） 303

习题 309

第四篇 变分法 314

第十四章 变分法 314

§1从实例引出变分问题 314

§2欧拉（Euler）方程 316

§3多个函数的泛函 320

§4含高阶导数的泛函 321

§5重积分的变分问题（多自变量函数的泛函） 324

§6条件极值的变分问题 326

§7变分学中的直接法—里兹（Ritz）法 329

习题 333

附录一 傅里叶展开 335

§1周期函数的傅里叶级数 335

§2非周期函数的傅里叶积分 337

§3广义傅里叶展开 338

§4多重（二）傅里叶展开 339

＊＊附录二 线性积分方程 340

§1积分方程分类 340

§2弗雷德霍姆定理 342

§3用逐次逼近法解第二类弗雷德霍姆方程 345

§4退化核的积分方程 352

§5伏脱拉方程 355

§6积分方程与微分方程的关系 359

习题 361