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译者的话 1

第一章 数值计算的某些一般原理 1

1.1 引言 1

英译本序 2

1.2 数值方法中的某些共同思想和概念 2

约定 3

1.3 数值问题与算法 14

1.3.1 定义 14

1.3.2 递推公式；Horner 法则 16

1.3.3 数值不稳定性的一个例子 18

第二章 怎样得到和估计数值计算中的精确度 24

2.1 误差估计中的基本概念 24

2.1.1 引言 24

2.1.2 误差的来源 25

2.1.3 绝对误差与相对误差 26

2.1.4 舍入及截断 27

2.2 误差的传播 29

2.2.1 误差分析简例 29

2.2.2 误差传播的一般公式；最大误差及标准误差 33

2.2.3 误差估计的实际应用 38

2.2.4 试验性摄动的用途 42

2.2.5 精度的自动控制 42

2.3 数系；浮点及定点表示 48

2.3.1 定位系统 48

2.3.2 浮点及定点表示 49

2.3.3 浮动的小数点 50

2.3.4 固定的小数点 52

2.3.5 采用浮点算术运算作计算时的舍入误差 53

2.4.1 向后误差分析 59

2.4 向后误差分析；条件数 59

2.4.2 问题及算法的条件数 61

2.4.3 误差分析的几何说明 64

第三章 级数的数值应用 69

3.1 级数的初等应用 69

3.1.1 简单例子 69

3.1.2 余项的估计 71

3.1.3 幂级数 75

3.2 收敛的加速 82

3.2.1 慢收敛的交错级数 82

3.2.2 慢收敛的正项级数 83

3.2.3 加速收敛的其他简单方法 85

3.2.4 病态级数 86

3.2.5 发散级数的数值用途 87

4.1.1 引言 93

第四章 函数逼近 93

4.1 逼近的基本概念 93

4.1.2 函数空间的概念 96

4.1.3 范数及半范数 97

4.1.4 函数逼近作为函数空间中的几何问题 99

4.2 用最小二乘作函数逼近 101

4.2.1 问题的陈述 101

4.2.2 正交系 102

4.2.3 逼近问题的解 106

4.3 多项式 112

4.3.1 基本术语；Weierstrass 逼近定理 112

4.3.2 多项式的三角族 113

4.3.3 三角族及其在插值中的应用 114

4.3.4 等距插值及 Runge 现象 117

4.4 正交多项式及其应用 120

4.4.1 Tchebycheff 多项式 120

4.4.2 Tchebycheff 插值及光滑 123

4.4.3 正交多项式的一般理论 126

4.4.4 Legendre 多项式及 Gram 多项式 131

4.5 多项式逼近的补充研究 136

4.5.1 多项式用途的总结 136

4.5.2 关于 En(f)的某些不等式及其在线性泛函计算中的应用 140

4.5.3 最大值范数意义上的逼近 144

4.5.4 幂级数的减缩；标准函数 146

4.5.5 最小二乘法在统计中的一些应用 147

4.6 样条函数 153

5.1 引言 159

第五章 数值线性代数 159

5.2 线性代数的基本概念 160

5.2.1 基本定义 160

5.2.2 分块矩阵 162

5.2.3 线性向量空间 163

5.2.4 特征值与相似变换 165

5.2.5 奇异值分解与广义逆 166

5.3 解线性方程组的直接法 170

5.3.1 三角形方程组 170

5.3.2 Gauss 消去法 171

5.3.3 迭主元技巧 174

5.3.4 LU 分解 179

5.3.5 Gauss 消去法的紧凑方案 183

5.3.6 逆矩阵 185

5.4.1 对称正定矩阵 189

5.4 特殊矩阵 189

5.4.2 带状矩阵 192

5.4.3 大型线性方程组 196

5.4.4 其它稀疏矩阵 198

5.5 线性方程组的误差分析 203

5.5.1 一个病态的例子 204

5.5.2 向量及矩阵范数 205

5.5.3 扰动分析 206

5.5.4 Gauss 消去法的舍入误差 208

5.5.5 线性方程组的比例因子 212

5.5.6 解的迭代改进 215

5.6 迭代法 221

5.7 超定线性方程组 230

5.7.1 法方程 231

5.7.2 正交化方法 236

5.7.3 最小二乘解的改进 241

5.7.4 具有线性约束的最小二乘问题 242

5.8 特征值及特征向量的计算 244

5.8.1 幂法 247

5.8.2 基于相似变换的方法 249

5.8.3 解方程求特征值法 253

5.8.4 QR 算法 255

第六章 非线性方程 257

6.1 引言 257

6.2 初始近似值；起步方法 258

6.2.1 引言 258

6.2.2 分半方法 259

6.3 Newton-Raphson 方法 261

6.4.1 方法的描述 267

6.4 割线法 267

6.4.2 割线法的误差分析 269

6.4.3 试位法 270

6.4.4 其他有关方法 271

6.5 迭代法的一般理论 274

6.6 迭代法的误差估计及可达到的精度 280

6.6.1 误差估计 280

6.6.2 可达到的精度；迭代终止判别 282

6.7 重根 285

6.8 代数方程 286

6.8.1 引言 286

6.8.2 紧缩法 289

6.8.3 病态代数方程 290

6.9 非线性方程组 292

6.9.1 迭代法 293

6.9.2 Newton-Raphson 方法及某些修正 294

6.9.3 其他方法 296

第七章 有限差分及其在数值积分、微分以及插值方面的应用 300

7.1 差分算子及其最简单的性质 300

7.2 推导近似公式及误差估计的简单方法 310

7.2.1 问题的陈述及某些典型例子 310

7.2.2 重复的 Richardson 外推法 317

7.3 插值 324

7.3.1 引言 324

7.3.2 什么时候线性插值就足够了？ 325

7.3.3 Newton 的一般插值公式 326

7.3.4 等距插值公式 329

7.3.5 关于插值法的补充说明 332

7.3.6 Lagrange 插值公式 335

7.3.7 Hermite 插值 336

7.3.8 反插值法 337

7.4 数值积分 342

7.4.1 矩形法则，梯形法则和 Romberg 方法 343

7.4.2 梯形公式的截断误差 347

7.4.3 数值积分中的某些困难及可能性 347

7.4.4 Euler-Maclaurin 求积公式 352

7.4.5 Euler-Maclaurin 公式的用途 355

7.4.6 数值积分的其他方法 358

7.5 数值微分 364

7.6 算子的运算 369

7.6.1 算子代数 369

7.6.2 算子级数及其应用 371

7.7 多变量函数 378

7.7.1 一次用一个变量计算 379

7.7.2 矩形网格点 380

7.7.3 不规则三角形网格点 384

第八章 微分方程 392

8.1 理论背景 392

8.1.1 常微分方程的初值问题 392

8.1.2 误差传播 395

8.1.3 其它微分方程问题 400

8.2 Euler 方法；重复的 Richardson 外推法 401

8.3 常微分方程初值问题的其它方法 405

8.3.1 改进的中点公式 405

8.3.2 幂级数方法 409

8.3.3 Runge-Kutta 方法 410

8.3.4 隐式方法 412

8.3.5 Stiff 问题 414

8.3.6 步长控制 416

8.3.7 二阶方程的有限差分法 418

8.4 常微分方程边值问题及特征值问题的概况 425

8.4.1 引言 425

8.4.2 打靶法 426

8.4.3 带状矩阵法 428

8.4.4 特征值问题的数值例子 431

8.5 差分方程 435

8.5.1 常系数齐次线性差分方程 436

8.5.2 一般线性差分方程 439

8.5.3 以试验问题分析数值方法 441

8.5.4 线性多步法 444

8.6.1 引言 454

8.6 偏微分方程 454

8.6.2 初值问题的例子 455

8.6.3 边值问题的例子 461

8.6.4 待定系数法及变分方法 464

8.6.5 有限元方法 468

8.6.6 积分方程 470

第九章 Fourier 方法 480

9.1 引言 480

9.2 Fourier 分析的基本公式和定理 482

9.2.1 单变量函数 482

9.2.2 多变量函数 488

9.3 快速 Fourier 分析 490

9.3.1 一个重要的特殊情况 490

9.3.2 快速 Fourier 分析，一般情况 492

9.4 非周期函数的周期延拓 495

9.5 Fourier 积分定理 498

第十章 最优化 502

10.1 问题的陈述，定义，及标准形 502

10.2 单纯形方法 506

10.3 对偶性 516

10.4 运输问题与某些其它优化问题 518

10.5 非线性最优化问题 520

10.5.1 基本概念和介绍性的例子 520

10.5.2 线寻查 523

10.5.3 无约束优化的算法 524

10.5.4 超定非线性方程组 526

10.5.5 约束优化 528

第十一章 Monte Carlo 方法 532

11.1 引言 532

11.2 随机数字和随机数 533

11.3 应用；方差的缩减 540

11.4 伪随机数 549

第十二章 习题解答 552

第十三章 文献目录和已发表的算法 661

13.1 引言 661

13.2 数值分析的一般文献 661

13.3 数表，公式集，和习题 665

13.4 误差分析及函数逼近 667

13.5 线性代数和非线性方程组 669

13.6 插值，数值积分及微分方程数值处理 673

13.7 最优化；模拟 676

13.8 评论、文摘及别的期刊 679

13.9 对已发表的算法评介 681

1960～1970年按课题分类的算法索引 682