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第一篇 基本概念 3

第一章 拓扑预备知识 3

提要 3

§1 引言 3

§2 拓扑空间 4

§3 闭包，内部，边界 6

§4 连续映射，同胚 8

§5 拓扑空间的性质 11

§6 特殊拓扑 14

第二章 Rn上的微分运算 20

提要 20

§1 引言 20

§2 多变量映射的微分 22

§3 可微映射的性质 23

§4 方向导数 25

§5 偏导数 26

§6 微分矩阵，雅可比行列式 28

§7 C1-映射和微分同胚 34

§8 中值定理 35

§9 高阶微分和泰勒（Taylor）公式 36

§10 Ck-微分同胚的概念 39

§11 反函数定理 39

§12 隐函数定理 41

第二篇 流形 47

第三章 可微流形 47

提要 47

§1 引言 47

§2 图和图册 48

§3 可微流形的定义 50

§4 微分流形的性质 52

4.1 Mn的豪斯道夫性质 52

4.2 Mn是局部欧几里德空间 53

4.3 Mn是局部紧致的 54

4.4 流形的开子集 54

4.5 积流形 54

4.6 单位分解 54

§5 可微流形的例 56

第四章 流形上的微分学 62

§1 可微映射 62

§2 切向量和切空间 68

§3 映射的微分 75

§4 映射的秩 80

§5 浸没-浸入-子流形 83

§6 在数学物理上的应用 86

第五章 李群 88

提要 88

§1 引言和历史背景 88

§2 李群的定义；例 90

§3 左-不变向量场 93

§4 李群的李代数 95

§5 李群同态 98

§6 李群的李子群 100

§7 单参数子群 101

§8 指数映射 104

§9 正则坐标系 111

§10 伴随表示 112

§11 李变换群 115

§12 李群的齐性空间 121

§13 应用：弗·克莱因的“厄尔朗根纲领” 122

第六章 纤维丛 125

§1 引言 125

§2 纤维丛的定义；例 126

§3 切丛和余切丛 130

3.1 引言和动机 130

3.2 切（余切）丛的一个严格描述 132

§4 张量丛 136

§5 向量丛 140

§6 主纤维丛 141

§7 相伴丛 145

提要 151

第三篇 微分形式 151

第七章 微分形式的基本概念 151

§1 微分形式的定义 152

1.1 作为横截面的微分形式 152

1.2 作为反交换多线性映射的微分形式 154

1.3 微分形式的正则形式 157

1.4 伴随微分形式 158

§2 微分形式的运算 161

2.1 外导数 161

2.2 可微映射的对偶映射φ＊ 169

2.3 在正则形式中φ＊的计算 172

2.4 庞加莱（Poincaré）引理及其逆定理 174

2.5 微分形式与向量场的内积 183

2.6 微分形式的李导数 186

§3 李群上的不变微分形式 190

§4 在数学物理上的应用 197

4.1 电磁场 198

4.2 电磁场变换定律 199

4.3 闵可夫斯基空间-时间中的马克斯威尔方程 201

4.4 在三维空间中的马克斯威尔方程 204

4.5 刚体动力学中的左不变形式 213

4.6 牛顿质点力学中的右不变形式 218

第八章 弗罗本尼斯理论 229

§1 引言 229

§2 弗罗本尼斯（Frobenius）条件 233

§3 弗罗本尼斯可积性定理 238

3.1 引言 238

3.2 к维分布的积分流形 239

3.3 弗罗本尼斯可积定理的局部表述法 243

3.4 弗罗本尼斯定理的整体表述法；层状结构 246

3.5 用微分形式表述的弗罗本尼斯可积定理 246

3.6 用微分理想表述的弗罗本尼斯定理 251

§4 在数学物理上的应用 254

4.1 力学系统的对合性（或完整性） 254

4.2 热力学的喀喇氏定理（Caratheodory sTheorem） 258

4.3 物理中的一阶联立微分方程组 261

4.4 物理中的一阶偏微分方程 262

第四篇 流形上的积分理论 283

第九章 微分形式的积分 283

§1 欧几里德空间Rn上的积分 283

1.1 一次微分形式的线积分 283

1.2 二次微分形式的面积分 285

2.1 n维向量空间VR（R）的定向 287

§2 定向 287

2.2 n维流形的走向 289

§3 Rn上n次形式的积分 292

§4 链上的积分 294

4.1 可微链的概念 294

4.2 微分形式在链上的积分 299

4.3 对于链的斯托克斯定理（Stokes Theorem） 300

§5 在定向流形上的积分 303

5.1 有紧致支集的微分形式的积分 303

5.2 对于流形的斯托克斯定理 307

5.3 在黎曼流形上的积分 316

1.1 普通deRham上同调 320

§1 deRham上同调 320

提要 320

第十章 deRham上同调 320

1.2 deRham群的例 323

1.3 有紧致支集的deRham上同调 333

§2 可微的奇异同调 335

§3 deRham定理 338

§4 映射度 341

§5 环绕数 345

§6 作为物理定律支承结构的deRham上同调 348

§7 霍奇定理 367

7.1 引言 367

7.2 霍奇星算子 368

7.3 余微分δ 368

7.4 拉普拉斯-贝特拉米算子 369

7.5 调和微分形式 372

7.6 霍奇分解定理 374

§8 庞加莱对偶性 378

§9 在数学物理上的应用 382

第五篇 联络理论 389

第十一章 在纤维丛上的联络 389

提要 389

§1 经典微分几何中的仿射联络 390

1.1 协变微分 390

1.2 协变微分法的几何意义 392

1.3 平行移动的物理意义 394

§2 柯斯朱尔意义下的仿射联络 395

2.1 柯斯朱尔联络的概念 395

2.2 向量场沿一条曲线的协变导数 398

2.3 沿曲线的平行移动 399

2.4 张量丛上的协变导数 400

2.5 仿射联络的挠率和曲率 402

2.6 挠率和曲率的固有定义 403

2.7 黎曼联络 405

2.7.1 逆变和协变张量场之间的正则对应 406

2.7.2 黎曼或勒维-奇维塔联络 408

2.8 在数学物理上的应用 411

§3 嘉当联络 415

§4 埃累斯曼联络 422

4.1 历史背景 422

4.2 用线性映射表示的埃累斯曼联络 423

4.3 用η-值一次形式表示的埃累斯曼联络 425

4.4 联络的曲率形式。结构方程 429

4.5 平坦联络 433

4.6 完整群 434

4.6.1 沿曲线的平行移动 435

4.6.2 联络的完整群 438

4.6.3 安布罗斯-辛格完整性定理 440

§5 线性联络 444

第六篇 固有的分析力学 449

第十二章 哈密尔顿力学和几何 449

提要 449

§1 引言 449

§2 保守力学．辛流形 453

2.1 局部坐标中的辛结构 455

2.2 哈密尔顿系统 460

2.3 诺特（Noether）定理 468

2.4 正则变换 472

2.5 正则变换和母函数 479

2.6 无穷小接触变换 481

2.7 母函数与无穷小接触变换（提要） 483

§3 与时间有关的力学 485

§4 研究哈密尔顿原理的几何途径 489

§5 哈密尔顿-雅可比方程的几何意义 502

5.1 保守系统 503

5.2 非保守系统 503

第七篇 统一结构 509

第十三章 引力论 509

提要 509

§1 引言（引力论的历史发展） 509

§2 牛顿联络 514

§3 支承引力的几何结构 516

§4 广义相对论中的对称 519

4.1 无穷小运动或基林向量场 521

4.2 基林方程和守恒定律 524

§5 相对论流体力学 524

5.1 引言 524

5.2 非相对论流体力学 525

5.2.1 运动的纳维尔-斯托克斯（Navier-Stokes）方程和欧拉方程 527

5.2.2 伯努利（Bernoulli）方程 533

5.2.3 涡量守恒的亥姆霍兹（Helmholtz）定理 534

5.2.4 环流守恒的汤姆孙（Thomson）定理 535

5.3 相对论流体力学 536

5.3.1 积分不变量 536

5.3.2 环流守恒的汤姆孙定理 540

5.3.3 涡量守恒的亥姆霍兹定理 547

§1 卡鲁扎-克莱因五维理论 552

提要 552

第十四章 统一场论 552

1.1 电磁场的构造 557

1.2 M5上的卡鲁扎-克莱因度量 559

1.3 用卡鲁扎-克莱因几何学研究带电粒子的相对论流体 560

§2 规范对称和整体对称 561

§3 几何规范结构 564

§4 自发对称破缺 567

§5 自发破坏的整体对称 577

§6 弱的和电磁的相互作用的统一 580

6.1 统一的萨拉姆-威伯格模型 583

6.2 自发的μ-e质量分裂 585

§7 做为统一物理定律的超引力 601

参考文献 610

主题索引 613