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第一章 函数 1

第一节 函数的概念和特性 1

一、区间与邻域 1

二、函数 3

三、反函数 6

四、函数的几种特性 6

五、基本初等函数 8

习题1-1 11

第二节 初等函数与建立函数关系式举例 12

一、复合函数 12

二、初等函数 13

三、建立函数关系式举例 14

习题1-2 15

本章小结 16

第二章 极限与连续 19

第一节 极限的概念 19

一、数列的极限 19

二、函数的极限 21

三、极限的性质 26

习题2-1 26

第二节 极限的运算法则 27

一、极限的四则运算法则 27

二、复合函数的极限法则 30

习题2-2 31

第三节 两个重要极限 32

一、重要极限limx→0sinx/x＝1 32

二、重要极限limx→0（1+1/x）x＝e 33

习题2-3 35

第四节 无穷小与无穷大、无穷小的比较 36

一、无穷小 36

二、无穷大 37

三、无穷小的比较 39

习题2-4 41

第五节 函数的连续性 41

一、函数连续性的概念 42

二、初等函数的连续性 44

三、函数的间断点及其分类 46

四、闭区间上连续函数的性质 48

习题2-5 49

本章小结 50

第三章 导数与微分 56

第一节 导数的概念 56

一、两个引例 56

二、导数的定义 58

三、可导与连续的关系 62

习题3-1 63

第二节 导数的基本公式和导数的四则运算法则 64

一、基本初等函数的导数公式 64

二、函数的和、差、积、商的求导法则 65

习题3-2 67

第三节 复合函数求导法则与反函数求导法则 68

一、复合函数的求导法则 68

二、反函数求导法则 70

三、初等函数的求导问题 71

习题3-3 74

第四节 隐函数的导数 参数式函数的导数 5

一、隐函数的导数 75

二、参数式函数的导数 77

习题3-4 78

第五节 高阶导数 79

一、高阶导数的概念 79

二、二阶导数的物理意义 82

习题3-5 82

第六节 微分及其应用 83

一、微分的概念 83

二、微分的几何意义 85

三、微分的基本公式与微分的运算法则 86

四、微分在近似计算中的应用 88

习题3-6 90

本章小结 91

第四章 导数的应用 96

第一节 微分中值定理 96

一、罗尔中值定理 96

二、拉格朗日中值定理 97

习题4-1 99

第二节 洛必达法则 100

二、∞/∞型未定式 102

三、其他类型的未定式 103

习题4-2 105

第三节 函数单调性与极值 106

一、函数的单调性 106

二、函数的极值 109

习题4-3 112

第四节 函数的最大值与最小值 113

一、函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值 113

二、函数在开区间（a,b）内的最大值与最小值 114

三、实际问题中函数的最大值或最小值 114

习题4-4 116

第五节 曲线的凹凸性与拐点 117

习题4-5 120

第六节 函数图形的描绘 120

一、曲线的渐近线 120

二、函数图形的描绘 122

习题4-6 124

本章小结 124

第五章 不定积分 128

第一节 不定积分的概念与性质 128

一、不定积分的概念 128

二、不定积分的几何意义 130

三、基本积分公式 130

四、不定积分的性质 131

五、直接积分法 131

习题5-1 132

第二节 换元积分法 133

一、第一类换元积分法（凑微分法） 133

二、第二类换元积分法 138

习题5-2 141

第三节 分部积分法 142

习题5-3 145

本章小结 145

第六章 定积分及其应用 149

第一节 定积分的概念与性质 149

一、定积分问题引例 149

二、定积分的概念 151

三、定积分的几何意义 153

四、定积分的性质 154

习题6-1 156

第二节 微积分基本定理 157

一、变上限积分函数 157

二、牛顿—莱布尼兹公式 159

习题6-2 162

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 162

一、定积分的换元积分法 163

二、定积分的分部积分法 165

习题6-3 167

第四节 定积分的应用 168

一、微元法基本原理 168

二、平面图形的面积 169

三、旋转体的体积 170

四、平面曲线的弧长 172

习题6-4 173

第五节 无穷区间上的广义积分 173

一、无穷区间上的广义积分的概念 174

二、无穷区间上的广义积分的计算 174

习题6-5 176

本章小结 177

第七章 微分方程 181

第一节 微分方程的基本概念 181

一、引例 181

二、微分方程的定义 182

三、微分方程的解 182

习题7-1 183

第二节 可分离变量的微分方程 184

习题7-2 186

第三节一阶线性微分方程 187

一、一阶线性微分方程的概念 187

二、一阶齐次线性微分方程的解法 187

三、一阶非齐次线性微分方程的解法 188

习题7-3 190

第四节 可降阶的高阶微分方程 191

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 191

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 191

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 193

习题7-4 194

第五节一阶微分方程的简单应用 195

习题7-5 198

第六节二阶常系数齐次线性微分方程 199

一、二阶常系数齐次线性微分方程解的性质 199

二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 199

习题7-6 201

第七节二阶常系数非齐次线性微分方程 202

一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 202

二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 202

习题7-7 205

本章小结 206

第八章 拉普拉斯变换 210

第一节 拉普拉斯变换的概念 210

一、拉普拉斯变换的定义 210

二、常用函数的拉氏变换 211

习题8-1 214

第二节 拉氏变换的性质 215

一、线性性质 215

二、平移性质 215

三、延滞性质 216

四、微分性质 216

五、积分性质 217

习题8-2 218

第三节 拉氏逆变换 219

一、一些基本的拉氏逆变换 219

二、较复杂象函数的拉氏逆变换 220

习题8-3 222

第四节 拉氏变换的应用 223

习题8-4 226

本章小结 226

附录 230

附录一 初等数学中的常用公式 230

附录二 简易积分表 233

附录三 拉普拉斯（Laplace）变换简表 243

附录四 习题答案 245