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第一模块一元微积分 2

第一章 极限与连续 2

第一节 函数 2

一、集合 2

二、区间 2

三、邻域 3

四、函数 3

五、反函数 8

六、基本初等函数 8

七、复合函数 12

八、初等函数 13

习题1-1 14

第二节 极限的概念 15

一、数列的极限 15

二、函数的极限 17

习题1-2 20

第三节 极限的运算法则 21

一、四则运算法则 21

二、复合函数的极限运算法则 24

三、极限不等式 25

习题1-3 25

第四节 极限存在准则 26

一、夹逼准则 26

二、单调有界收敛准则 27

习题1-4 31

第五节 无穷小无穷大无穷小的比较 32

一、无穷小 32

二、无穷大 33

三、无穷小的比较 34

习题1-5 36

第六节 函数的连续性 38

一、函数连续性的概念 38

二、连续函数的四则运算 40

三、复合函数的连续性 40

四、反函数的连续性 41

五、初等函数的连续性 41

六、闭区间上连续函数的性质 41

习题1-6 42

自我检测一 43

第二章 导数与微分 44

第一节 导数的概念 44

一、引例 44

二、导数的定义 45

三、函数的可导性与连续性的关系 49

习题2-1 50

第二节 导数的运算法则 51

一、函数求导的四则运算法则 51

二、反函数的求导法则 52

三、复合函数求导法则 53

习题2-2 54

第三节 隐函数与参数式函数的导数 55

一、隐函数的导数（对数求导法） 55

二、参数式函数的导数 58

三、初等函数的导数 59

习题2-3 60

第四节 高阶导数 60

习题2-4 62

第五节 微分及其应用 63

一、微分定义及几何意义 63

二、微分公式及运算法则 66

三、微分在近似计算中的应用 67

习题2-5 68

自我检测二 69

第三章 导数的应用 71

第一节 中值定理 71

一、罗尔（Rolle）定理 71

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 72

三、柯西（Cauchy）中值定理 74

习题3-1 74

第二节 洛必达法则 75

一、0/0型和∞/∞未定式 75

二、其他类型的未定式 77

习题3-2 79

第三节 函数的单调性与极值 80

一、函数单调性的判别法 80

二、函数的极值及其求法 81

三、函数在闭区间上的最大值和最小值 84

习题3-3 86

第四节 曲线的凹凸性与拐点函数作图 86

一、曲线的凹凸性与拐点 86

二、函数作图 88

习题3-4 89

自我检测三 90

第四章 不定积分 91

第一节 不定积分的概念与性质 91

一、原函数与不定积分 91

二、不定积分的几何意义 93

三、基本积分公式 94

四、不定积分的性质 95

习题4-1 96

第二节 换元积分法 97

一、第一类换元法 97

二、第二类换元法 102

习题4-2 106

第三节 分部积分法 107

习题4-3 110

自我检测四 110

第五章 定积分 113

第一节 定积分的概念和性质 113

一、定积分问题举例 113

二、定积分的定义 115

三、定积分的性质 118

习题5-1 119

第二节 微积分基本公式 120

一、变上限积分及其导数 121

二、牛顿一莱布尼兹（Newton-leibniz）公式 122

习题5-2 124

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 124

一、定积分的换元积分法 124

二、分部积分法 127

习题5-3 128

第四节 定积分应用举例 128

一、定积分的元素法 129

二、平面图形的面积 129

三、体积 131

四、定积分的其他应用 133

习题5-4 135

第五节 反常积分 135

习题5-5 137

自我检测五 138

第二模块 微分方程 141

第六章 微分方程 141

第一节 微分方程的基本概念 141

习题6-1 143

第二节 可分离变量的微分方程 144

习题6-2 148

第三节一阶线性微分方程 148

习题6-3 151

第四节 可降阶的高阶微分方程 151

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 152

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 152

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 154

习题6-4 155

第五节二阶常系数齐次线性微分方程 155

一、二阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构 156

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 157

习题6-5 160

第六节二阶常系数非齐次线性微分方程 160

一、二阶常系数非齐次线性微分方程的性质和通解结构 160

二、f（x）＝Pm（x）eλx型 161

三、f（x）＝Acosωx＋Bsinωx型 164

习题6-6 166

自我检测六 166

第三模块 拉普拉斯变换 169

第七章 拉普拉斯变换 169

第一节 拉氏变换的概念与性质 169

一、拉氏变换的概念 169

二、拉氏变换的性质 171

习题7-1 176

第二节 拉氏逆变换 176

一、简单的拉氏逆变换 176

二、用部分分式法分解象函数 178

习题7-2 179

第三节 拉氏变换的应用 179

一、微分方程的拉氏变换解法 179

二、线性系统的传递函数 181

习题7-3 183

自我检测七 184

第四模块 向量代数与空间解析几何 186

第八章 向量代数与空间解析几何 186

第一节 向量及其线性运算 186

一、空间直角坐标系 186

二、向量与向量的线性运算 187

三、向量的坐标表示式 189

四、用坐标表示向量的模和方向余弦 191

习题8-1 192

第二节 向量的乘法运算 192

一、向量的数量积 192

二、向量的向量积 195

习题8-2 196

第三节 平面与直线 196

一、点的轨迹方程的概念 196

二、平面 197

三、直线 200

四、平面、直线间的夹角 201

习题8-3 204

第四节 曲面与曲线 205

一、几种常见的曲面及其方程 205

二、二次曲面 208

三、曲线 209

习题8-4 212

自我检测八 212

第五模块 多元微积分 215

第九章 多元函数微积分 215

第一节 多元函数 215

一、区域 215

二、二元函数 216

习题9-1 219

第二节 偏导数 220

一、偏导数的概念 220

二、高阶偏导数 223

习题9-2 224

第三节 全微分 224

一、全微分的定义 224

二、全微分在近似计算中的应用举例 227

习题9-3 228

第四节 复合函数的求导法则 229

一、多元复合函数的求导法则 229

二、隐函数的求导法 232

习题9-4 234

第五节二重积分 235

一、二重积分的概念 235

二、二重积分的性质 237

习题9-5 238

第六节二重积分的计算方法 238

习题9-6 243

自我检测九 244

第六模块 级数 246

第十章 级数 246

第一节 常数项级数的概念和性质 246

一、基本概念 246

二、级数的基本性质 248

习题10-1 249

第二节 正项级数及其审敛法 250

一、基本定理 250

二、比较审敛法 250

三、比值审敛法 252

习题10-2 254

第三节 绝对收敛与条件收敛 255

一、交错级数及其审敛法 255

二、任意项级数、绝对收敛与条件收敛 256

习题10-3 258

第四节 幂级数 258

一、函数项级数 258

二、幂级数 259

三、幂级数的运算 262

习题10-4 265

第五节 傅立叶级数 265

一、三角函数系与三角级数 266

二、周期为2π的函数展开成傅立叶级数 266

三、正弦级数与余弦级数 269

习题10-5 272

第六节以2l为周期的函数展开为傅立叶级数 272

习题10-6 274

自我检测十 275

第七模块 线性代数 277

第十一章 行列式矩阵线性方程组 277

第一节 行列式的定义和性质 277

一、二阶行列式 277

二、三阶行列式 278

三、n阶行列式 281

四、行列式的性质 282

习题11-1 284

第二节矩阵的概念及其运算 285

一、矩阵的基本概念 285

二、矩阵的运算 287

习题11-2 290

第三节 逆矩阵 290

一、逆矩阵的概念与性质 291

二、逆矩阵的求法 291

三、利用逆矩阵求线性方程组和矩阵方程的解 293

习题11-3 295

第四节 矩阵的初等变换 矩阵的秩 295

一、矩阵的初等变换 296

二、矩阵的秩 296

习题11-4 298

第五节 分块矩阵 299

一、分块矩阵的加法 299

二、分块矩阵的乘法 300

三、分块对角矩阵的逆矩阵 302

习题11-5 303

第六节 线性方程组 304

一、高斯消元法 304

二、一般线性方程组解的讨论 306

习题11-6 312

自我检测十一 312

第八模块 复数与复变函数 316

第十二章 复数与复变函数 316

第一节 复数 316

一、复数的概念 316

二、复数的几何表示 316

三、复数的三种形式及运算 317

习题12-1 320

第二节 复变函数 321

一、复变函数的概念 321

二、映射的概念 321

习题12-2 322

第三节 复变函数的极限与连续性 323

一、复变函数的极限 323

二、复变函数的连续性 324

习题12-3 324

自我检测十二 324

附录一 正弦型曲线 325

附录二 习题参考答案 327

参考文献 352