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第一章 集合·实数——微积分的基础 1

1.1 数学大厦的基石——集合 1

1.1 集合概念 2

1.2 全集·空集·子集 3

1.3 集合的运算 3

1.2 实数 4

2.1 毕达哥拉斯的“万物皆数”——有理数 5

2.2 数学之神——阿基米德 6

2.3 “万物皆数”的濒危——第一次数学危机 7

2.4 实数的性质 8

2.5 绝对值、区间和邻域 9

1.3 实数与集合在微积分中的作用 10

3.1 “万物皆数”的复归——实数在微积分中的作用 10

3.2 集合在微积分中的作用 11

专题简述（1） 悖论浅谈 11

思考题一 14

习题一 14

第二章 极限——变量无限变化的数学模型 15

2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限 16

1.1 数列的概念 16

1.2 数列极限的定性描述 17

1.3 数列极限的定量描述 18

1.4 数列极限的哲学分析 22

1.5 对极限概念作出贡献的中外数学家 22

2.2 函数极限 25

2.1 自变量x无限趋近于有限数x0的情形 25

2.2 自变量x的绝对值无限增大时的情形 28

2.3 函数极限的性质 29

2.3 无穷小量 30

3.1 无穷小量的概念 30

3.2 无穷小量的性质 30

3.3 无穷小量阶的比较 31

2.4 极限的四则运算 31

2.5 两个极限判定准则和两个重要极限公式 34

5.1 判定极限存在的两个准则 34

5.2 与三角函数式有关的极限公式 35

5.3 与自然生长（或衰减）有关的极限公式 36

5.4 有限与无限是客观原型的抽象 37

专题简述（2） 数学符号 38

思考题二 40

习题二 40

第三章 连续函数——微积分的研究对象 42

3.1 函数——变量相依关系的数学模型 43

1.1 常量与变量 43

1.2 函数概念 43

1.3 函数符号与双目失明的数学家——欧拉 44

1.4 函数的表示法 45

1.5 函数的基本性质 46

3.2 初等函数 46

2.1 反函数 46

2.2 基本初等函数 47

2.3 复合函数 49

2.4 初等函数 50

3.3 函数模型的构建 51

3.1 构建函数模型的步骤和方法 51

3.2 函数模型举例 51

3.4 连续函数——变量连续变化的数学模型 55

4.1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则 56

4.2 初等函数的连续性 58

4.3 闭区间上连续函数的性质 60

4.4 中学教师出身的数学家——外尔斯特拉斯 62

专题简述（3） 数学模型方法 63

思考题三 65

习题三 66

第四章 导数与微分——变量变化快慢程度与计算变量改变量的数学模型 69

4.1 导数 70

1.1 两个典型问题 70

1.2 导数概念 72

1.3 求导数的辩证法 75

1.4 导数的力学意义和几何意义 76

1.5 左导数和右导数 76

1.6 函数的连续性与可导性之间的关系 77

1.7 高阶导数的概念 78

4.2 求导法则和求导公式 79

2.1 求导法则 79

2.2 基本初等函数的求导公式 84

4.3 微分及其运算 86

3.1 微分 86

3.2 微分公式和法则 88

3.3 微分在近似计算中的应用 89

4.4 牛顿·牛顿的流数法和第二次数学危机 90

4.1 科学巨擘牛顿 90

4.2 牛顿的流数法和第二次数学危机 93

专题简述（4） 数学抽象 95

思考题四 97

习题四 97

第五章 中值定理·导数的应用 99

5.1 中值定理 99

1.1 预备定理——费尔马定理 100

1.2 业余数学家之王——费尔马 101

1.3 中值定理的特例——罗尔定理 102

1.4 中值定理（拉格朗日） 103

1.5 中值定理的推广——柯西定理 105

5.2 计算不定式的极限的一般方法——洛比塔法则 106

2.1 0/0型不定式 106

2.2 ∞/∞型不定式 107

2.3 其他类型的不定式 108

5.3 用导数研究函数的单调性、极值和最大、最小值 109

3.1 函数的单调性 109

3.2 函数的极值 110

3.3 函数的最大值和最小值 112

5.4 导数在经济数量分析中的应用 115

4.1 函数的变化率——边际函数 115

4.2 函数的相对变化率——弹性函数 116

专题简述（5） 数学猜想 118

思考题五 120

习题五 121

第六章 不定积分——微分法的逆运算 123

6.1 不定积分的概念和性质 123

1.1 牛顿的字谜·不定积分的概念 123

1.2 不定积分的性质 126

6.2 基本积分公式和直接积分法 126

2.1 基本积分公式 126

2.2 直接积分法 127

6.3 常用积分法——换元积分法和分部积分法 129

3.1 换元积分法 129

3.2 分部积分法 134

专题简述（6） 数学思维 137

思考题六 140

习题六 140

第七章 定积分——求总量的数学模型 142

7.1 定积分的概念和性质 142

1.1 初等数学束手无策，高等数学迎刃而解的两个典型求积问题 142

1.2 定积分的概念 145

1.3 求定积分过程中的辩证法 147

1.4 定积分存在定理 148

1.5 定积分的性质 148

7.2 定积分的计算 150

2.1 数学史上的一项菁华：微积分基本定理 150

2.2 计算定积分的一般方法——牛顿-莱布尼茨公式 152

2.3 百科全书式的数学家——莱布尼茨 154

2.4 求定积分的换元积分法和分部积分法 155

7.3 定积分的应用 156

3.1 建立求总量模型的简便方法——微元法 157

3.2 平面图形的面积 157

3.3 旋转体的体积 159

3.4 经济学中的总量问题 159

7.4 广义积分 160

4.1 无限区间上的积分 160

4.2 无界函数的积分 162

专题简述（7） 数学与美学 163

思考题七 165

习题七 165

第八章 概率统计初步——描述偶然现象规律性的数学模型 168

8.1 随机现象与概率 168

1.1 随机现象、概率 168

1.2 事件、随机变量 170

8.2 概率的计算 173

2.1 加法公式 173

2.2 乘法公式与条件概率 174

2.3 全概公式和贝叶斯公式 176

8.3 随机变量 178

3.1 离散随机变量 178

3.2 连续随机变量 180

3.3 分布函数 182

3.4 随机变量的数字特征与分布参数 185

3.5 正态分布在教育研究中的应用 187

8.4 统计资料的整理 191

4.1 基本概念 191

4.2 数据的描述 194

8.5 统计分析 199

5.1 显著性检验 199

5.2 回归分析 201

专题简述（8） 数学与文化 204

思考题八 206

习题八 207

附录一 习题答案与提示 209

附录二 两个数表 217

（一）标准正态分布函数值表 217

（二）t分布双侧临界值表 219

附录三 初等数学小资料 221

附录四 主要人名检索 225

附录五 主要参考书目 228