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0引文 1

0.1感受微积分 1

0.2给学习者的建议 5

1函数与极限 6

1.1函数 6

1.1.1函数的概念 6

1.1.2函数的表示法 7

1.1.3函数的基本性质 8

1.1.4基本初等函数 9

1.1.5复合函数 13

1.1.6初等函数 14

习题1.1 15

1.2函数的极限 16

1.2.1数列的极限 17

1.2.2函数的极限 18

习题1.2 23

1.3无穷小与无穷大 极限运算法则 24

1.3.1无穷小与无穷大 24

1.3.2极限运算法则 26

习题1.3 28

1.4两个重要极限 无穷小的比较 29

1.4.1两个重要极限 29

1.4.2无穷小的比较 33

习题1.4 34

1.5函数的连续性 35

1.5.1连续函数 35

1.5.2函数的间断点 37

1.5.3初等函数的连续性 38

1.5.4闭区间上连续函数的性质 39

习题1.5 41

复习题一 42

自测题一 46

2导数与微分 50

2.1导数 50

2.1.1三个实例 50

2.1.2导数的定义 52

2.1.3导数的几何意义 55

2.1.4函数的可导与连续之间的关系 57

习题2.1 58

2.2导数公式与函数和、差、积、商的求导法则 59

2.2.1导数基本公式 59

2.2.2函数和、差、积、商的求导法则 59

习题2.2 62

2.3复合函数和反函数的导数 62

习题2.3 66

2.4隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 67

2.4.1隐函数的导数 67

2.4.2由参数方程确立的函数的导数 69

习题2.4 71

2.5自然科学和社会科学中的变化率 高阶导数 71

2.5.1在化学中的应用 71

2.5.2在经济学中的应用 72

2.5.3高阶导数 73

习题2.5 75

2.6函数的微分 76

习题2.6 82

复习题二 83

自测题二 86

3导数的应用 90

3.1微分中值定理与洛必达法则 90

3.1.1微分中值定理 90

3.1.2洛必达法则 94

习题3.1 98

3.2函数的单调性与极值 98

3.2.1函数的单调性 98

3.2.2函数的极值 101

习题3.2 104

3.3函数的最值与应用 105

3.3.1函数在闭区间上的最大值与最小值 105

3.3.2最值的应用（优化问题） 106

习题3.3 108

3.4函数的凹凸性、拐点及函数图形的描绘 109

3.4.1曲线的凹凸性与拐点 109

3.4.2函数图形的描绘 111

习题3.4 113

3.5曲率 113

3.5.1弧微分 114

3.5.2曲率 115

习题3.5 118

复习题三 118

自测题三 122

4不定积分 128

4.1不定积分与基本积分公式 128

4.1.1原函数与不定积分的概念 128

4.1.2基本积分公式 130

4.1.3不定积分的性质 131

习题4.1 133

4.2积分的方法 133

4.2.1第一类换元积分法（凑微分法） 134

4.2.2第二类换元积分法 137

4.2.3分部积分法 140

4.2.4积分表的使用 142

习题4.2 144

4.3常微分方程 145

4.3.1微分方程的概念 145

4.3.2可分离变量的微分方程 146

习题4.3 150

4.4一阶线性微分方程及应用 150

4.4.1一阶线性微分方程 150

4.4.2一阶微分方程的简单应用 154

习题4.4 157

复习题四 157

自测题四 161

5定积分及其应用 163

5.1定积分的概念 163

5.1.1引例 163

5.1.2定积分的定义 165

5.1.3定积分的几何意义 166

5.1.4定积分的性质 167

习题5.1 170

5.2微积分基本公式 171

5.2.1积分可变上限函数 172

5.2.2微积分基本公式——牛顿-莱布尼兹公式 173

习题5.2 175

5.3定积分的积分法 176

5.3.1定积分的换元积分法 176

5.3.2定积分的分部积分法 178

习题5.3 180

5.4广义积分 180

5.4.1无穷区间上的广义积分 180

5.4.2无界函数的广义积分 183

习题5.4 185

5.5定积分在几何上的应用 185

5.5.1微元法 185

5.5.2平面图形的面积 186

5.5.3旋转体的体积 189

习题5.5 192

5.6定积分在物理上的应用 193

5.6.1变力做功 193

5.6.2液体的压力 194

习题5.6 196

复习题五 196

自测题五 200

6多元函数微积分 206

6.1多元函数的概念、二元函数的极限和连续性 207

6.1.1多元函数的概念 207

6.1.2二元函数的极限 209

6.1.3二元函数的连续性 210

习题6.1 211

6.2偏导数 212

6.2.1偏导数的概念 212

6.2.2高阶偏导数 215

6.2.3多元复合函数与隐函数的求导法则 216

习题6.2 220

6.3全微分及其应用 221

6.3.1全微分的概念 221

6.3.2全微分在近似计算中的应用 223

习题6.3 224

6.4二元函数的极值与最值 224

6.4.1二元函数的极值 224

6.4.2二元函数的最值 226

6.4.3条件极值 227

6.4.4最小二乘法 229

习题6.4 230

6.5二重积分的概念与性质 231

6.5.1两个相似问题 231

6.5.2二重积分的概念 232

6.5.3二重积分的性质 233

习题6.5 234

6.6二重积分的计算 235

6.6.1二重积分在直角坐标系中的计算 235

6.6.2二重积分在极坐标中的计算 239

习题6.6 241

6.7二重积分的应用 241

6.7.1二重积分在几何上的应用——体积 242

6.7.2二重积分在物理上的应用 243

习题6.7 245

复习题六 246

自测题六 249

7无穷级数 252

7.1数项级数 253

7.1.1数项级数的基本概念 253

7.1.2级数收敛的必要条件 256

7.1.3级数的基本性质 256

7.1.4级数的积分判别法与应用 258

习题7.1 262

7.2数项级数敛散性判别法 263

7.2.1正项级数及其敛散性判别法 263

7.2.2交错级数及其敛散性判别法 268

7.2.3任意项级数敛散性判别法 269

习题7.2 271

7.3幂级数 272

7.3.1幂级数及其收敛域 272

7.3.2幂级数在收敛区间内的性质 277

习题7.3 280

7.4函数展开成幂级数 281

7.4.1泰勒（Taylor）公式与麦克劳林（Machaurin）公式 281

7.4.2泰勒级数与麦克劳林级数 282

7.4.3函数展开成幂级数 283

7.4.4函数幂级数展开式的应用 287

习题7.4 289

复习题七 290

自测题七 294

附录Ⅰ初等数学中的常用公式 297

附录Ⅱ积分表 301

参考答案 308

参考文献 325