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第一章 极限论 1

1.1 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几何特性 2

三、函数的延拓 3

四、复合函数与反函数 4

五、初等函数 5

习题1-1 6

1.2 微积分的一些基本问题 7

一、面积问题 7

二、切线问题 9

三、变速直线运动的瞬时速度问题 10

1.3 数列的极限 11

一、数列极限的定义 11

二、数列极限的性质 15

三、数列极限的四则运算法则 17

四、内在的收敛判别法：单调有界数列；Cauchy收敛原理 18

习题1-3 23

1.4 函数的极限 23

一、函数极限的概念 23

二、函数极限的精确定义 25

三、函数极限的性质 27

四、无穷远点的极限与水平渐进线 30

五、利用函数极限的运算法则计算极限 33

六、单侧极限 35

七、无穷小量与无穷大量 36

习题1-4 39

1.5 函数的连续性 40

一、连续函数的概念 40

二、间断点的分类 44

三、连续函数的运算，初等函数的连续性 45

四、无穷小量的比较 50

五、闭区间上连续函数的性质 52

习题1-5 55

总习题一 56

第二章 导数与微分 60

2.1 切线、速度和其它的变化率问题 60

一、切线问题 60

二、速度问题 61

三、其它的变化率问题 62

2.2 导数的定义与几个基本的导数公式 64

一、导数的定义 64

二、导数的几何意义 65

三、几个初等函数的导数公式 66

四、利用导数的定义求导数举例 68

五、连续性与可微性的关系 70

习题2-2 70

2.3 自然科学与社会科学中的变化率问题 71

一、物理学 72

二、化学 72

三、生物学 73

四、经济学 73

五、其它科学 74

2.4 求导法则 74

一、导数的四则运算 74

二、反函数的导数 76

三、复合函数的导数：连锁法则 77

四、隐函数的求导法则，对数求导法 80

五、由参数方程确定的函数的导数 82

习题2-4 84

2.5 高阶导数 85

习题2-5 89

2.6 微分与线性逼近 90

一、微分的概念 90

二、微分的运算 92

三、复合函数的微分，一阶微分形式不变性 93

四、微分在近似计算中的应用 94

习题2-6 95

2.7 相关变化率 95

总习题二 97

第三章 中值定理与导数应用 101

3.1 中值定理 101

一、罗尔定理 101

二、拉格朗日中值定理 103

三、柯西中值定理 105

习题3-1 106

3.2 罗必达法则 108

一、罗必达第一法则 108

二、罗必达第二法则 109

三、其它未定型 111

习题3-2 112

3.3 泰勒公式 113

一、在x0处的n次泰勒多项式 113

二、带余项的泰勒公式 114

三、几个初等函数的马克劳林展式 115

习题3-3 117

3.4 函数的单调性 118

习题3-4 121

3.5 函数的极值和最值 122

一、函数的极值 122

二、函数的最值 125

习题3-5 128

3.6 函数图形的凹向与拐点 129

习题3-6 132

3.7 函数作图和曲线的渐近线 132

一、曲线的渐近线 132

二、函数的作图 134

习题3-7 136

3.8 曲率 136

一、弧微分 137

二、曲率 137

习题3-8 140

3.9 方程的近似解 141

一、二分法 141

二、切线法 142

习题3-9 143

总习题三 143

第四章 不定积分 148

4.1 原函数与不定积分 148

一、原函数 148

二、不定积分 150

三、不定积分的几何意义 151

四、不定积分的性质及基本积分公式 152

五、简单积分法 154

习题4-1 155

4.2 换元积分法 157

一、第一换元法（凑微分法） 157

二、第二换元法 163

习题4-2 166

4.3 分部积分法 168

习题4-3 175

4.4 有理函数积分法 176

一、部分分式和它们的积分 177

二、分解真分式为部分分式 178

三、例题 181

习题4-4 183

4.5 某些无理函数的积分，三角有理式的积分 183

一、∫R(x？)dx型 184

习题4-5（一） 185

二、用万能代换计算∫R(sinx,cosx)dx型积分 185

三、几种有用的代换 187

习题4-5（二） 188

4.6 积分表的使用 189

习题4-6 190

总习题四 190

第五章 定积分 193

5.1 定积分的概念 193

一、积累问题举例 193

二、定积分的定义 196

三、定积分存在的条件 198

四、定积分的几何意义 199

习题5-1 201

5.2 定积分的性质 201

习题5-2 205

5.3 微积分基本定理 206

一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系 206

二、积分上限的函数及其导数 207

三、牛顿-莱布尼茨公式 209

习题5-3 212

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 213

一、定积分的换元积分法 213

二、定积分的分部积分法 216

习题5-4 218

5.5 广义积分 219

一、无限区间上的广义积分 219

二、无界函数的广义积分 222

习题5-5 225

5.6 广义积分敛散性的判别法 226

一、无穷区间上的广义积分敛散性的判别法 226

二、无界函数的广义积分敛散性的判别法 229

三、Г-函数 231

习题5-6 232

5.7 定积分的近似计算 233

一、矩形法 233

二、梯形法 234

三、抛物线法 234

习题5-7 238

总习题五 239

第六章 定积分的应用 242

6.1 微元法的基本思想 242

6.2 定积分的几何应用 244

一、平面图形的面积 244

二、体积 247

三、平面曲线的弧长 251

习题6-2 254

6.3 定积分在物理学中的应用 255

一、变力沿直线运动所做的功 255

二、液体的压力 258

三、引力 259

习题6-3 260

6.4 平均值 261

一、函数的平均值 261

二、均方根 263

习题6-4 264

总习题六 264

第七章 微分方程 266

7.1 微分方程的基本概念 266

习题7-1 269

7.2 变量可分离方程 269

习题7-2 271

7.3 齐次方程 271

习题7-3 273

7.4 一阶线性微分方程 274

习题7-4 278

7.5 一阶微分方程应用举例 278

习题7-5 282

7.6 可转化为一阶微分方程的二阶微分方程 282

习题7-6 286

7.7 二阶线性微分方程 287

一、二阶线性齐次方程解的结构 287

二、二阶线性非齐次方程 291

习题7-7 293

7.8 二阶常系数齐次线性方程的解法 293

习题7-8 297

7.9 二阶常系数线性非齐次方程的解法 297

习题7-9 301

7.10 欧拉方程 301

习题7-10 302

7.11 线性微分方程组 303

习题7-11 305

总习题七 306

附录 积分表 307