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第一篇 高等数学 1

第一章极限、连续与求极限的方法 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 1

一、极限的概念与性质 1

二、极限存在性的判别（极限存在的两个准则） 3

三、求极限的方法 4

四、无穷小及其阶 12

五、函数的连续性及其判断 14

常考题型及其解题方法与技巧 17

题型训练 29

第二章一元函数的导数与微分概念及其计算 31

内容概要与重难点提示 31

考核知识要点讲解 31

一、一元函数的导数与微分 31

二、按定义求导及其适用的情形 35

三、基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则 36

四、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的微分法则 38

五、分段函数求导法 40

六、高阶导数及n阶导数的求法 42

七、一元函数微分学的简单应用 44

常考题型及其解题方法与技巧 46

题型训练 56

第三章一元函数积分概念、计算及应用 58

内容概要与重难点提示 58

考核知识要点讲解 58

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 58

二、积分法则 65

三、各类函数的积分法 73

四、反常积分（广义积分） 76

五、积分学应用的基本方法——微元分析法 78

六、一元函数积分学的几何应用 79

七、一元函数积分学的物理应用 85

常考题型及其解题方法与技巧 88

题型训练 113

第四章 微分中值定理及其应用 116

内容概要与重难点提示 116

考核知识要点讲解 116

一、微分中值定理及其作用 116

二、利用导数研究函数的变化 118

三、一元函数的最大值与最小值问题 123

常考题型及其解题方法与技巧 124

题型训练 144

第五章一元函数的泰勒公式及其应用 146

内容概要与重难点提示 146

考核知识要点讲解 146

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 146

二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 147

三、一元函数泰勒公式的若干应用 148

常考题型及其解题方法与技巧 151

题型训练 156

第六章 微分方程 157

内容概要与重难点提示 157

考核知识要点讲解 157

一、基本概念 157

二、一阶微分方程 158

三、可降阶的高阶方程 160

四、线性微分方程解的性质与结构 161

五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程 162

六、二阶常系数非齐次线性方程 163

七、含变限积分的方程 164

常考题型及其解题方法与技巧 165

题型训练 176

第七章 向量代数和空间解析几何 178

内容概要与重难点提示 178

考核知识要点讲解 178

一、空间直角坐标系 178

二、向量的概念 178

三、向量的运算 179

四、平面方程、直线方程 182

五、平面、直线之间相互关系与距离公式 184

六、旋转面与柱面方程，常用二次曲面的方程及其图形 185

七、空间曲线在坐标平面上的投影 187

常考题型及其解题方法与技巧 187

题型训练 194

第八章 多元函数微分学 195

内容概要与重难点提示 195

考核知识要点讲解 195

一、多元函数的概念、极限与连续性 195

二、多元函数的偏导数与全微分 197

三、多元函数微分法则 201

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法 203

五、复合函数求导法则的其他应用 205

六、多元函数极值充分判别法 206

七、多元函数的最大值与最小值问题 208

八、方向导数与梯度 210

九、多元函数微分学的几何应用 212

常考题型及其解题方法与技巧 214

题型训练 224

第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用 227

内容概要与重难点提示 227

考核知识要点讲解 227

一、多元函数积分的概念与性质 227

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 231

三、重积分的变量替换 238

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算 242

五、多元函数积分学的几何应用 251

六、多元函数积分学的物理应用 253

常考题型及其解题方法与技巧 256

题型训练 283

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 286

内容概要与重难点提示 286

考核知识要点讲解 286

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 286

二、向量场的通量与散度，环流量与旋度 288

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 289

四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 293

常考题型及其解题方法与技巧 299

题型训练 308

第十一章 无穷级数 310

内容概要与重难点提示 310

考核知识要点讲解 310

一、常数项级数的概念与基本性质 310

二、正项级数敛散性的判定 311

三、交错级数的敛散性判别法 313

四、绝对收敛与条件收敛 313

五、函数项级数的收敛域与和函数 314

六、幂级数的收敛域 315

七、幂级数的运算与和函数的性质 316

八、幂级数的求和与函数的幂级数展开 318

九、傅里叶级数 320

常考题型及其解题方法与技巧 322

题型训练 338

第二篇 线性代数 342

第一章 行列式 342

内容概要与重难点提示 342

考核知识要点讲解 342

一、行列式的概念、展开公式及其性质 342

二、有关行列式的几个重要公式 346

三、关于克莱姆（Cramer）法则 347

常考题型及其解题方法与技巧 348

题型训练 358

第二章 矩阵及其运算 360

内容概要与重难点提示 360

考核知识要点讲解 360

一、矩阵的概念及几类特殊方阵 360

二、矩阵的运算 362

三、矩阵可逆的充分必要条件 364

四、矩阵的初等变换与初等矩阵 364

五、矩阵的等价 365

常考题型及其解题方法与技巧 366

题型训练 383

第三章n维向量与向量空间 386

内容概要与重难点提示 386

考核知识要点讲解 386

一、n维向量的概念与运算 386

二、线性组合与线性表出 387

三、线性相关与线性无关 388

四、线性相关性与线性表出的关系 389

五、向量组的秩与矩阵的秩 389

六、矩阵秩的重要公式 390

七、向量空间、子空间与基、维数、坐标 390

八、基变换与坐标变换 391

九、规范正交基与Schmidt正交化 392

常考题型及其解题方法与技巧 393

题型训练 414

第四章 线性方程组 417

内容概要与重难点提示 417

考核知识要点讲解 417

一、线性方程组的各种表达形式及相关概念 417

二、基础解系的概念及其求法 417

三、齐次方程组有非零解的判定 418

四、非齐次线性方程组有解的判定 418

五、非齐次线性方程组解的结构 419

六、线性方程组解的性质 419

常考题型及其解题方法与技巧 419

题型训练 433

第五章 矩阵的特征值与特征向量 435

内容概要与重难点提示 435

考核知识要点讲解 435

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法 435

二、相似矩阵的概念与性质 437

三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤 438

常考题型及其解题方法与技巧 439

题型训练 460

第六章二次型 462

内容概要与重难点提示 462

考核知识要点讲解 462

一、二次型的概念及其标准形 462

二、正定二次型与正定矩阵 464

三、合同矩阵 464

常考题型及其解题方法与技巧 465

题型训练 477

第三篇 概率论与数理统计 479

第一章 随机事件和概率 479

内容概要与重难点提示 479

考核知识要点讲解 479

一、随机事件的关系与运算 479

二、随机事件的概率 481

三、全概率公式与贝叶斯公式 484

四、事件的独立性与伯努利公式 485

常考题型及其解题方法与技巧 487

题型训练 497

第二章 随机变量及其分布 499

内容概要与重难点提示 499

考核知识要点讲解 499

一、随机变量与分布函数 499

二、离散型随机变量与连续型随机变量 500

三、几个常见分布 502

四、随机变量函数的分布的求法 507

常考题型及其解题方法与技巧 509

题型训练 520

第三章 多维随机变量及其分布 522

内容概要与重难点提示 522

考核知识要点讲解 522

一、多维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 522

二、二维离散型随机变量 523

三、二维连续型随机变量 525

四、两个常见的二维连续型随机变量的分布 528

五、二维随机变量的独立性 529

六、二维随机变量函数的分布的求法 530

常考题型及其解题方法与技巧 531

题型训练 553

第四章 随机变量的数字特征 555

内容概要与重难点提示 555

考核知识要点讲解 555

一、一维随机变量的数字特征 555

二、二维随机变量的数字特征 557

常考题型及其解题方法与技巧 560

题型训练 571

第五章 大数定律和中心极限定理 573

内容概要与重难点提示 573

考核知识要点讲解 573

一、大数定律 573

二、中心极限定理 575

常考题型及其解题方法与技巧 576

题型训练 581

第六章 数理统计的基本概念 582

内容概要与重难点提示 582

考核知识要点讲解 582

一、总体、样本、样本的数字特征 582

二、统计量及抽样分布 583

常考题型及其解题方法与技巧 586

题型训练 590

第七章 参数估计和假设检验 591

内容概要与重难点提示 591

考核知识要点讲解 591

一、参数估计 591

二、假设检验 595

常考题型及其解题方法与技巧 597

题型训练 606