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第1章　函数、极限与连续 1

1.1　函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的性质 4

1.1.3　反函数 4

1.1.4　初等函数 5

1.1.5 建立函数关系（实例） 8

习题1-1 9

1.2　极限 10

1.2.1　数列的极限 10

1.2.2 函数的极限 11

习题1-2 15

1.3　极限的运算 15

1.3.1　极限的四则运算 15

1.3.2　两个重要极限 17

习题1-3 19

1.4　无穷小与无穷大 20

1.4.1　无穷小 20

1.4.2　无穷大 21

习题1-4 22

1.5　函数的连续性 23

1.5.1　连续函数的概念 23

1.5.2　连续函数的运算 26

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 28

习题1-5 29

1.6　数学建模初步 30

1.6.1　数学模型 30

1.6.2　数学建模 31

复习题1 33

本章知识小结框图 35

第2章　导数与微分 37

2.1　导数的概念 37

2.1.1　导数定义 37

2.1.2　导数的意义 41

2.1.3 可导与连续的关系 43

习题2-1 43

2.2　函数的求导法则 44

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 44

2.2.2　复合函数的求导法则 45

2.2.3 高阶导数 46

习题2-2 47

2.3　隐函数及参数方程确定的函数的求导法则 48

2.3.1 隐函数的求导法则 48

2.3.2　参数方程确定的函数的求导法则 50

2.3.3　初等函数的导数 51

习题2-3 51

2.4　函数的微分 52

2.4.1　微分的概念及几何意义 52

2.4.2　微分基本公式及微分的运算法则 53

2.4.3　微分在近似计算中的应用 54

2.4.4　微分在误差估计中的应用 55

习题2-4 56

2.5　应用模型——抛物镜面的聚光问题 57

复习题2 58

本章知识小结框图 59

第3章　导数的应用 60

3.1　洛必达法则 60

3.1.1　0/0型未定式 60

3.1.2　∞/∞型未定式 61

3.1.3　其他类型未定式 62

习题3-1 63

3.2　函数单调性的判定　函数的极值 63

3.2.1 函数单调性的判别方法 63

3.2.2　函数极值的判别法 66

3.2.3 函数最值的求法 67

习题3-2 68

3.3　函数图形的描绘 69

3.3.1 曲线的凹凸与拐点 69

3.3.2　函数图形的描绘 71

习题3-3 73

3.4　应用模型——捕鱼业的产量与效益模型 73

复习题3 75

本章知识小结框图 77

第4章　不定积分 78

4.1　不定积分的概念与性质 78

4.1.1　原函数与不定积分的概念 78

4.1.2 不定积分的几何意义 79

习题4-1 80

4.2　不定积分的基本公式和性质　直接积分法 81

4.2.1 不定积分的基本公式和性质 81

4.2.2　直接积分法 82

习题4-2 83

4.3　换元积分法 83

4.3.1　第一换元积分法（凑微分法） 84

4.3.2 第二换元积分法（去根号法） 87

习题4-3 90

4.4　分部积分法 90

习题4-4 92

4.5　简易积分表及使用方法 93

习题4-5 94

4.6　应用模型 94

复习题4 96

本章知识小结框图 98

第5章　定积分及其应用 99

5.1　定积分的概念与性质 99

5.1.1 两个引例 99

5.1.2　定积分的定义 101

5.1.3　定积分的几何意义 102

5.1.4　定积分的性质 102

习题5-1 104

5.2　牛顿—莱布尼茨公式 105

5.2.1　积分上限的函数及其导数 105

5.2.2　牛顿—莱布尼茨公式 106

习题5-2 107

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 108

5.3.1 定积分的换元积分法 108

5.3.2　定积分的分部积分法 110

习题5-3 111

5.4　广义积分 111

5.4.1 无穷限的广义积分 112

5.4.2　无界函数的广义积分 113

习题5-4 115

5.5　定积分在几何上的应用 116

5.5.1　定积分的微元法 116

5.5.2　求平面图形面积 116

5.5.3　求空间立体体积 119

习题5-5 121

5.6　定积分在物理上的应用 122

5.6.1 变力沿直线作功 122

5.6.2　液体静压力 123

5.6.3 函数的平均值 123

习题5-6 124

5.7　应用模型 124

复习题5 126

本章知识小结框图 128

第6章　空间解析几何与向量代数 129

6.1　空间直角坐标系 129

6.1.1 空间直角坐标系 129

6.1.2 空间两点间的距离 130

习题6-1 131

6.2　向量及其线性运算 131

6.2.1　向量的概念 131

6.2.2　向量的加、减法 132

6.2.3　数与向量的乘法 132

6.2.4　向量的坐标 133

6.2.5 向量的模与方向余弦 135

习题6-2 135

6.3　向量的数量积与向量积 136

6.3.1　两向量的数量积 136

6.3.2　向量的向量积 137

习题6-3 140

6.4　平面及其方程 140

6.4.1 平面的点法式方程 141

6.4.2　平面的一般方程 141

6.4.3 两平面的夹角、平行与垂直 143

习题6-4 145

6.5　空间直线及其方程 145

6.5.1　空间直线的方程 145

6.5.2 两直线的夹角、平行与垂直 147

习题6-5 148

6.6　常见曲面的方程及图形 149

6.6.1 曲面方程的概念 149

6.6.2　常见的曲面方程及其图形 150

6.6.3 空间曲线 155

习题6-6 156

复习题6 156

本章知识小结框图 158

第7章　多元函数的微分及其应用 159

7.1　多元函数 159

7.1.1 多元函数的概念 159

7.1.2　二元函数的极限和连续 160

习题7-1 162

7.2　偏导数 162

7.2.1　偏导数的概念 162

7.2.2　高阶偏导数 164

习题7-2 165

7.3　全微分及其应用 165

7.3.1　全微分的概念 165

7.3.2　全微分在近似计算中的应用 166

习题7-3 167

7.4　多元复合函数的微分 167

7.4.1　复合函数的微分法 167

7.4.2　隐函数的微分法 170

习题7-4 171

7.5　偏导数的应用 172

7.5.1　偏导数在几何上的应用 172

7.5.2　多元函数的极值 175

7.5.3　条件极值 177

习题7-5 178

7.6　应用模型——广告投资决策问题 179

复习题7 179

本章知识小结框图 181

第8章　多元函数的积分学 183

8.1　二重积分的概念与性质 183

8.1.1 引例 183

8.1.2　二重积分的定义 184

8.1.3　二重积分的性质 185

习题8-1 186

8.2　二重积分的计算 187

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 187

8.2.2　极坐标系下二重积分的计算 190

习题8-2 192

8.3　二重积分的应用 193

8.3.1　二重积分在几何上的应用 193

8.3.2　平面薄片的重心 196

8.3.3　平面薄板的转动惯量 197

习题8-3 198

8.4　应用模型 198

8.4.1　人口密度问题 198

8.4.2　工程作业总量计算问题 198

复习题8 199

本章知识小结框图 201

第9章　曲线积分 202

9.1　对弧长的曲线积分 202

9.1.1 对弧长的曲线积分的概念和性质 202

9.1.2 对弧长的曲线积分的计算 204

习题9-1 207

9.2　对坐标的曲线积分 207

9.2.1　对坐标的曲线积分的概念和性质 207

9.2.2　对坐标的曲线积分的计算 210

9.2.3　格林公式 211

9.2.4　平面曲线积分与路径无关的条件 213

习题9-2 214

9.3　应用模型 215

9.3.1　重心问题 215

9.3.2　转动惯量问题 215

9.3.3　面积问题 216

复习题9 216

本章知识小结框图 217

第10章　常微分方程 218

10.1　常微分方程的一般概念 218

10.1.1　微分方程的概念 218

10.1.2　微分方程的解 218

习题10-1 219

10.2　可分离变量的微分方程与齐次微分方程 220

10.2.1 可分离变量的微分方程 220

10.2.2　齐次微分方程 221

习题10-2 222

10.3　一阶线性微分方程 222

10.3.1　一阶线性齐次微分方程的通解 222

10.3.2　一阶线性非齐次微分方程的通解 223

习题10-3 224

10.4　几种可降阶的二阶微分方程 225

10.4.1 y(n)=f（x）型的微分方程 225

10.4.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 226

10.4.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 227

习题10-4 227

10.5　二阶线性微分方程 228

10.5.1　线性微分方程解的结构 228

10.5.2　二阶线性常系数齐次微分方程 229

10.5.3　二阶线性常系数非齐次微分方程 231

习题10-5 234

10.6　应用模型 235

10.6.1 凹镜问题 235

10.6.2　第二宇宙速度 236

10.6.3　放射性元素的质量衰变规律 237

复习题10 238

本章知识小结框图 239

第11章　无穷级数 240

11.1　无穷级数的概念和性质 240

11.1.1　无穷级数的基本概念 240

11.1.2　无穷级数的基本性质 243

习题11-1 244

11.2　数项级数的审敛法 245

11.2.1　正项级数及其审敛法 245

11.2.2　交错级数及其审敛法 248

11.2.3　任意项级数的敛散性 249

习题11-2 249

11.3　幂级数 250

11.3.1　函数项级数 250

11.3.2　幂级数的收敛区域 251

11.3.3　幂级数的运算性质 253

习题11-3 255

11.4　函数的幂级数展开式 256

11.4.1　泰勒级数 256

11.4.2　函数的幂级数展开 258

11.4.3 函数幂级数展开式的应用 261

习题11-4 264

11.5　傅里叶级数 264

11.5.1 三角级数与三角函数系的正交性 264

11.5.2　周期为2π的函数展开成傅里叶级数 265

11.5.3　函数展开成正弦级数或余弦级数 267

11.5.4　周期为2l的函数展开成傅里叶级数 271

11.5.5　傅里叶级数的复数形式 273

习题11-5 275

11.6　数学模型——矩形脉冲谐波信号处理 276

复习题11 278

本章知识小结框图 281

习题、复习题参考答案 282

附录A　简易积分表 304

附录B　初等数学常用公式 314

附录C　初等数学常见曲线 316

参考文献 321