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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、常量与变量 1

1.1.2 函数的定义 2

1.1.3 函数的几种特性 5

1.1.4 反函数与复合函数 7

1.1.5 基本初等函数 9

1.1.6 初等函数 10

1.1.7 参数方程与极坐标 11

习题1-1 14

1.2 数列极限 15

习题1-2 19

1.3 函数极限 20

习题1-3 26

1.4 无穷小与无穷大 27

1.4.1 无穷小 27

1.4.2 无穷大 28

习题1-4 30

1.5 极限的运算法则 31

习题1-5 35

1.6 极限存在准则 两个重要极限 36

习题1-6 40

1.7 无穷小的比较 41

习题1-7 43

1.8 函数的连续性 44

1.8.1 连续性概念 44

1.8.2 间断点及其分类 46

习题1-8 47

1.9 连续函数的运算与闭区间上连续函数的性质 48

1.9.1 连续函数的运算与初等函数的连续性 48

1.9.2 闭区间上连续函数的性质 50

习题1-9 52

复习题1 53

第2章 导数与微分 56

2.1 导数概念 56

2.1.1 引例 56

2.1.2 导数的定义 57

2.1.3 求导数举例 59

2.1.4 导数的几何意义 60

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 61

习题2-1 62

2.2 函数的求导法则 63

2.2.1 导数的四则运算 64

2.2.2 反函数的导数 66

2.2.3 复合函数的导数 67

2.2.4 基本初等函数的导数公式 70

习题2-2 71

2.3 高阶导数 73

习题2-3 76

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 76

2.4.1 隐函数的导数 76

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 79

2.4.3 相关变化率 81

习题2-4 81

2.5 函数的微分及其计算 83

2.5.1 微分的定义 83

2.5.2 微分的几何意义 85

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 85

2.5.4 微分在近似计算中的应用 88

习题2-5 90

复习题2 91

第3章 微分中值定理与导数的应用 93

3.1 中值定理 93

3.1.1 罗尔定理 93

3.1.2 拉格朗日中值定理 94

3.1.3 柯西中值定理 96

习题3-1 97

3.2 洛必达法则 98

习题3-2 101

3.3 泰勒公式 102

习题3-3 106

3.4 函数单调性与曲线的凹凸性 107

3.4.1 函数单调性的判定法 107

3.4.2 曲线的凹凸与拐点 109

习题3-4 112

3.5 函数的极值与最大值、最小值 113

3.5.1 函数的极值及其求法 113

3.5.2 最大值最小值问题 115

习题3-5 118

3.6 函数图形的描绘 119

习题3-6 124

3.7 曲率 124

3.7.1 弧微分 124

3.7.2 曲率及其计算公式 125

3.7.3 曲率圆与曲率半径 127

习题3-7 127

复习题3 128

第4章 不定积分 132

4.1 不定积分的概念与性质 132

4.1.1 原函数与不定积分的概念 132

4.1.2 基本积分公式 134

4.1.3 不定积分的性质 135

习题4-1 138

4.2 换元积分法 139

4.2.1 第一类换元法 139

4.2.2 第二类换元法 144

习题4-2 147

4.3 分部积分法 148

习题4-3 152

4.4 几种特殊类型函数的积分 154

4.4.1 有理函数的积分 154

4.4.2 三角函数有理式的积分 155

4.4.3 简单无理函数的积分 156

习题4-4 158

4.5 积分表的使用 159

习题4-5 160

复习题4 161

第5章 定积分 163

5.1 定积分的概念与性质 163

5.1.1 引例 163

5.1.2 定积分定义 165

5.1.3 定积分的几何意义 166

5.1.4 定积分的性质 168

习题5-1 169

5.2 微积分基本公式 171

5.2.1 变上限积分及其导数 171

5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 174

习题5-2 176

5.3 定积分的换元法和分部积分法 179

5.3.1 定积分的换元法 179

5.3.2 定积分的分部积分法 182

习题5-3 184

5.4 反常积分 186

5.4.1 无穷限反常积分 186

5.4.2 无界函数的反常积分 187

习题5-4 188

5.5 反常积分的审敛法 Γ函数 189

5.5.1 无穷限反常积分的审敛法 189

5.5.2 无界函数反常积分的审敛法 192

5.5.3 Γ函数 192

习题5-5 193

复习题5 194

第6章 定积分的应用 197

6.1 定积分的元素法 197

6.2 定积分在几何学上的应用 198

6.2.1 平面图形的面积 198

6.2.2 体积 203

6.2.3 平面曲线的弧长 206

习题6-2 209

6.3 定积分在物理学上的应用 211

6.3.1 变力沿直线所做的功 211

6.3.2 水压力 213

6.3.3 引力 213

习题6-3 215

复习题6 216

第7章 向量代数与空间解析几何 218

7.1 空间直角坐标系 218

7.1.1 空间直角坐标系 218

7.1.2 空间两点间的距离 219

习题7-1 220

7.2 向量代数 221

7.2.1 向量的概念 221

7.2.2 向量的线性运算 222

7.2.3 向量的坐标 225

7.2.4 向量的数量积、向量积与混合积 230

习题7-2 236

7.3 空间平面及其方程 237

7.3.1 平面方程的概念 237

7.3.2 两平面的夹角 240

7.3.3 点到平面的距离 242

习题7-3 243

7.4 空间直线及其方程 244

7.4.1 空间直线方程的概念 244

7.4.2 两直线之间的夹角 245

7.4.3 直线与平面的夹角 246

习题7-4 248

7.5 空间曲面及其方程 249

7.5.1 曲面方程的概念 249

7.5.2 旋转曲面 250

7.5.3 柱面 253

7.5.4 锥面 254

7.5.5 二次曲面 255

习题7-5 259

7.6 空间曲线及其方程 260

7.6.1 空间曲线的一般方程 260

7.6.2 空间曲线的参数方程 261

7.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 262

习题7-6 264

复习题7 265

习题解答与提示 267

附录1 二阶和三阶行列式简介 304

附录2 常用积分表 310

参考文献 318