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第1章 复数的基本概念 1

1.1 复数及其运算 1

1.1.1 复数的定义 1

1.1.2 实部和虚部 1

1.1.3 相等 1

1.1.4 复数的四则运算 1

1.1.5 复数的共轭运算 1

1.2 复数的几何表示 2

1.2.1 复平面 2

1.2.2 复球面 4

1.2.3 无穷远点 4

1.3 复数的幂与方根 5

1.3.1 复数的乘积与商 5

1.3.2 复数的幂 5

1.3.3 复数的根 6

1.4 复数序列的极限 6

1.4.1 复数的序列 6

1.4.2 聚点与极限 6

1.4.3 复数序列极限存在的充分必要条件——柯西判别法 7

1.4.4 极限趋于无穷 8

第2章 解析函数 9

2.1 复变函数 9

2.1.1 区域 9

2.1.2 复变函数的定义 10

2.1.3 复变函数的极限 11

2.1.4 复变函数的连续性 12

2.2 复变函数的导数 13

2.2.1 导数与微分 13

2.2.2 可导的充分必要条件 15

2.2.3 求导的运算法则 16

2.3 解析函数的定义和判定条件 16

2.3.1 解析函数的定义 16

2.3.2 函数解析的充分必要条件 16

2.3.3 解析函数的运算法则 17

2.4 解析函数与调和函数的关系 17

2.4.1 调和函数 17

2.4.2 共轭调和函数 18

2.5 单值初等函数 19

2.5.1 幂函数 19

2.5.2 指数函数 19

2.5.3 三角函数和双曲函数 20

第3章 多值函数及其单值分支 22

3.1 对数函数w=lnz 23

3.2 幂函数w＝（z-a）α 27

3.3 反三角函数和反双曲函数 30

3.4 多值函数的四则运算 32

3.5 多值函数的复合函数 35

第4章 复变函数的积分 38

4.1 复变函数积分的概念 38

4.1.1 复变函数积分的定义 38

4.1.2 积分的计算 39

4.1.3 复变函数积分的几个基本性质 40

4.2 柯西积分定理 40

4.3 不定积分 41

4.4 柯西积分公式及其推论 42

第5章 复数项级数和复变函数项级数 45

5.1 复级数 45

5.1.1 复数列 45

5.1.2 复数项级数 45

5.1.3 复变函数项级数 46

5.2 幂级数 49

5.2.1 幂级数的敛散性质 49

5.2.2 幂级数？cnzn收敛半径的求法 50

5.2.3 幂级数？cnzn和的解析性 50

5.3 解析函数的泰勒展开 52

5.3.1 泰勒定理 52

5.3.2 一些初等函数的泰勒展开式 53

5.4 解析函数的洛朗展开 55

5.4.1 洛朗级数 55

5.4.2 环形区域上解析函数的洛朗展开 55

第6章 留数理论及其应用 57

6.1 孤立奇点 57

6.1.1 奇点的分类 57

6.1.2 零点与极点的关系 58

6.1.3 解析函数在无穷远点的性质 59

6.2 留数定理 60

6.2.1 留数的概念 60

6.2.2 留数的求法 60

6.2.3 在无穷远点处的留数 61

6.2.4 留数定理 62

6.3 用留数定理计算实积分 63

6.3.1 ？R（sinx,cosx）dx型积分的计算 63

6.3.2 ？f（x）型积分的计算 64

6.3.3 含三角函数的无穷型积分的计算 66

6.4 积分路线上有奇点类型积分的计算 67

6.5 多值函数的积分 70

6.5.1 含多值函数的无穷限反常积分 70

6.5.2 含有两个幂函数乘积的积分 72

6.5.3 利用含有对数函数的被积函数求其他积分 74

6.6 其他积分例子 75

第7章 含参变量的积分 77

7.1 解析函数的定义域延拓 77

7.2 含参变量的积分 78

7.3 Г函数 80

7.4 B函数 85

第8章 傅里叶变换 87

8.1 傅里叶积分公式 87

8.1.1 傅里叶级数的三角形式 87

8.1.2 傅里叶级数的复指数形式 88

8.1.3 非周期函数的展开问题 88

8.2 傅里叶变换 89

8.3 单位脉冲函数——δ函数 89

8.3.1 δ函数的定义 90

8.3.2 广义傅里叶变换 90

8.4 傅里叶积分的性质 91

8.5 傅里叶变换的应用 93

第9章 拉普拉斯变换 95

9.1 拉普拉斯变换的概念 95

9.2 拉普拉斯变换及其逆变换的定义 96

9.3 拉普拉斯变换的存在定理 97

9.4 周期函数的拉普拉斯变换 99

9.5 关于拉普拉斯变换的积分下限问题 100

9.6 拉普拉斯变换的基本性质 100

9.7 象原函数的求法 104

9.8 拉普拉斯变换的应用 106

9.8.1 解常系数线性微分方程的初值问题 106

9.8.2 求解常系数线性微分方程的边值问题 107

9.8.3 解某些变系数线性微分方程 107

9.8.4 求解某些积分方程、微分积分方程 108

9.8.5 解常系数线性微分方程组 108

第10章 二阶线性常微分方程的级数解法 110

10.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 110

10.2 方程常点邻域内的解 110

10.3 方程正则奇点邻域内的解 112

第11章 典型方程的推导及基本概念 119

11.1 典型方程的导出 119

11.1.1 弦的微小横振动方程 119

11.1.2 在固体中的热传导方程 121

11.1.3 拉普拉斯方程和泊松方程 123

11.2 定解条件 123

11.2.1 初始条件 124

11.2.2 边界条件 124

11.2.3 定解问题及其分类 126

11.2.4 定解问题的适定性 127

11.2.5 叠加原理 128

第12章 行波法 129

12.1 行波法 129

12.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法 129

12.1.2 达朗贝尔公式的物理意义 130

12.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域 131

12.1.4 有累积效应与无累积效应 131

12.1.5 非齐次方程与齐次化原理 132

12.2 延拓法求解半无限长振动问题 133

12.2.1 半无限长弦的自由振动问题 133

12.2.2 半无限长弦的强迫振动问题 134

12.3 高维波动方程的初值问题 135

12.3.1 平均值法求解三维波动方程初值问题 136

12.3.2 降维法 137

第13章 分离变量法 139

13.1 有界弦的自由振动 139

13.1.1 分离变量法的求解过程 139

13.1.2 关于求解过程的评注 142

13.1.3 波动方程的物理意义 143

13.2 有限长杆上的热传导问题 144

13.2.1 使用分离变量法求解第一类齐次边界条件的定解问题 144

13.2.2 使用分离变量法求解其他类型的齐次边界条件定解问题 145

13.3 非齐次方程的求解问题 146

13.4 非齐次边界条件的处理 149

第14章 常微分方程的本特征值问题 154

14.1 二阶线性常微分方程的本征值问题 154

14.2 斯特姆-刘维尔方程的本征值问题 156

14.3 两类本征值问题的相互转化 157

第15章 亥姆霍兹方程在不同坐标系下的表现形式 158

15.1 拉普拉斯算子在不同坐标系下的表现形式 158

15.2 球坐标系和柱坐标系中亥姆霍兹方程的变数分离 162

15.3 圆内的狄里希累问题 165

第16章 勒让德多项式 167

16.1 勒让德方程的求解 167

16.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式 170

16.3 勒让德级数 171

16.4 连带的勒让德多项式 173

第17章 贝塞尔函数 176

17.1 贝塞尔方程及其求解 176

17.2 贝塞尔函数 177

17.3 贝塞尔函数的性质 179

17.3.1 母函数和积分表示 179

17.3.2 微分关系和递推公式 179

17.3.3 半阶函数 181

17.3.4 贝塞尔函数的零点和衰减振荡特性 183

17.4 贝塞尔方程的固有值问题 184

17.5 贝塞尔函数的应用 186

17.6 球贝塞尔函数和变型（虚宗量）贝塞尔函数 187

第18章 格林函数 189

18.1 亥姆霍兹方程的格林函数 189

18.2 格林函数的性质 192

18.3 广义格林函数 195

18.4 全空间上的格林函数——基本解 197

18.5 求特殊形状区域内格林函数的电像法 201

18.6 含时间问题的格林函数及其应用 203

18.7 格林函数的级数解法 206

第19章 求解微分方程定解问题积分变换法的普遍原理 211

19.1 基本原理 211

19.2 一些积分变换的例子 214

参考文献 218