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第10章 数项级数 1

10.1 级数的敛散性及其性质 1

习题 6

10.2 正项级数敛散性 7

10.2.1 比较判别法 8

10.2.2 根值判别法·比值判别法 14

10.2.3 柯西积分判别法 18

10.2.4 拉贝判别法·高斯判别法 20

习题 29

10.3 任意项级数敛散性 32

10.3.1 绝对收敛定理·交错级数收敛判别法 32

10.3.2 阿贝尔判别法·狄利克雷判别法 36

习题 42

10.4 绝对收敛级数的性质 43

10.4.1 绝对收敛级数的可交换性 43

10.4.2 级数的乘法 48

习题 53

10.5 二重级数·无穷乘积 54

10.5.1 二重级数 54

10.5.2 无穷乘积 59

习题 63

第10章总习题 64

第11章 函数序列和函数项级数 68

11.1 函数序列和函数项级数的一致收敛性 68

11.1.1 一致收敛性·函数空间 69

11.1.2 函数项级数的一致收敛性判别法 78

习题 83

11.2 一致收敛函数序列与函数项级数的性质 85

习题 97

11.3 幂级数 98

11.3.1 幂级数的收敛半径 99

11.3.2 幂级数的性质 103

习题 108

11.4 初等函数的幂级数展开 109

11.4.1 泰勒级数·初等函数的幂级数展开 109

11.4.2 幂级数的应用 120

习题 125

第11章总习题 126

第12章 反常积分 131

12.1 两类反常积分的定义和性质 131

习题 141

12.2 反常积分收敛判别法 142

12.2.1 非负函数比较判别法·绝对收敛定理 142

12.2.2 阿贝尔判别法·狄利克雷判别法 145

习题 149

12.3 反常积分的变数变换及计算 150

习题 156

第12章总习题 157

第13章 含参变量积分 160

13.1 含参变量的正常积分 160

习题 169

13.2 含参变量的反常积分 170

13.2.1 一致收敛性及其判别法 171

13.2.2 一致收敛含参变量反常积分的性质 182

13.2.3 应用——反常积分的计算 189

习题 197

13.3 欧拉积分 199

13.3.1 Γ函数及其性质 199

13.3.2 B函数及其性质 202

13.3.3 Γ函数与B函数的关系 204

习题 211

第13章总习题 212

第14章 曲线积分 216

14.1 第一型曲线积分 216

14.1.1 第一型曲线积分概念及其性质 216

14.1.2 第一型曲线积分的计算方法 219

习题 225

14.2 第二型曲线积分 226

14.2.1 第二型曲线积分概念及其性质 226

14.2.2 第二型曲线积分的计算方法 229

14.2.3 两类曲线积分的关系 236

习题 237

第14章总习题 238

第15章 重积分 241

15.1 二重积分的定义和性质 241

15.1.1 二重积分的概念 241

15.1.2 二重积分存在的条件 243

15.1.3 可积函数类 246

15.1.4 二重积分的性质 249

习题 251

15.2 二重积分的计算 252

15.2.1 直角坐标系下的累次积分法 252

15.2.2 二重积分的变数变换 257

15.2.3 极坐标系下二重积分的累次积分法 263

习题 268

15.3 三重积分 271

15.3.1 三重积分定义·直角坐标系下的累次积分 271

15.3.2 三重积分的变数变换 277

习题 284

15.4 重积分的应用 285

15.4.1 曲面的面积 286

15.4.2 几何体的质量中心和转动惯量 291

15.4.3 引力 294

习题 296

15.5 反常重积分 297

15.5.1 无界区域的反常二重积分 298

15.5.2 无界函数的反常二重积分 304

习题 307

15.6 n重积分 308

习题 315

第15章总习题 315

第16章 曲面积分 318

16.1 第一型曲面积分 318

习题 322

16.2 第二型曲面积分 323

习题 332

第16章总习题 333

第17章 各种积分的联系·场论 335

17.1 格林公式 335

17.1.1 格林公式 335

17.1.2 平面上第二型曲线积分与路径无关的条件 342

17.1.3 二重积分的变数变换公式的证明 347

习题 351

17.2 奥高公式 353

习题 359

17.3 斯托克斯公式 360

习题 364

17.4 场论 365

17.4.1 数量场的方向导数和梯度 366

17.4.2 向量场的流量和散度 369

17.4.3 向量场的环流量和旋度 372

17.4.4 有势场以及空间第二型曲线积分与路径无关的条件 376

17.4.5 应用 378

习题 380

17.5 微分形式及其积分 382

17.5.1 微分的外积 382

17.5.2 微分形式和外微分 388

17.5.3 微分形式的积分 391

习题 397

第17章总习题 398

第18章 囿变函数和RS积分 401

18.1 囿变函数 401

习题 409

18.2 RS积分 410

18.2.1 RS积分的概念与可积条件 411

18.2.2 RS积分的性质 415

习题 421

第18章总习题 422

第19章 傅里叶级数 425

19.1 傅里叶级数 425

习题 434

19.2 逐点收敛性 435

习题 443

19.3 函数的傅里叶级数展开式 444

19.3.1 周期为2l的函数的傅里叶展开式 444

19.3.2 非周期函数的傅里叶级数展开式 449

习题 455

19.4 一致收敛性及其应用 456

19.4.1 傅里叶级数的逐项求积与逐项求导 457

19.4.2 傅里叶级数的算术平均和 462

习题 468

19.5 平均收敛性 469

19.5.1 傅里叶级数的极值性质 470

19.5.2 傅里叶级数的平均收敛·三角函数系的完全性 474

习题 481

19.6 傅里叶积分 482

19.6.1 傅里叶积分定理 484

19.6.2 傅里叶积分的其他形式 487

19.6.3 傅里叶变换的概念 490

习题 494

第19章总习题 495

习题答案与提示 500

参考文献 516